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统计物理学中最有趣的问题----Ising 模型【长篇连载：3】

已有 6566 次阅读 2011-12-27 21:45 |系统分类:科研笔记| 统计, 物理学, 模型, 连载

咱们上回说到，二维Ising模型是否存在相变这个问题，已经被Peierls先生很好的解决了。时间也已经从1930年代，慢慢的过度到了1940年代。1940年代，请诸君注意，这可是关于Ising模型最为精彩的几年，几件大事，都是在这几年间发生的。

最早登场的大人物是Kramers和Wannier，介绍他们的杰出工作之前，我们需要先熟悉一下当时的大环境。当时发展的形势是，二维Ising模型是研究的热点，Peierls已经从理论上证明了相变点是存在的，下一步该怎么办?谁都不知道，就在大家都是一头雾水，充满迷茫的时候，Kramers和Wannier大喝一声，经典文章：H. A. Kramers and G. H. Wannier (1941). "Statistics of the two-dimensional ferromagnet". Physical Review 60: 252–262.横空出世了。Kramers和Wannier这篇文章堪称牛文的原因有二：

第一，它给出了二维正方形网格上Ising模型相变点Tc需满足的关系如下：

第二，更重要的是，它给出了一种使用矩阵法来求配分函数的精妙技巧。

要介绍矩阵法求解配分函数，我们还需要回头看看，我们知道Ising先生已经给出了一维Ising模型配分函数的精确解，但是Ising先生的求解方法是在是太繁琐了，也只有Ising先生这样的牛人能够吭哧吭哧的坚持着算出来。他的那篇原始的文献--Ising, E. (1925), "Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus", Z. Phys. 31: 253–258, 不光是让我们这些不懂德语的人看不懂，恐怕对于那些很熟悉德语的人来说，看起来也是非常吃力的。怎么办？

呵呵，Kramers和Wannier两位给出了一个称为矩阵方法的很好的解决办法。

1. 写出配分函数。对于存在外磁场H的情况下，一维格点的配分函数如下：