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统计物理学中最有趣的问题----Ising 模型【长篇连载:1】

已有 8634 次阅读 2011-12-26 04:56 |系统分类:科研笔记| 统计, 博士生, 模型, 物理学家, 李政道

    湘人刘全慧一篇博文《想成为物理学家? 请从统计物理入行》写的漂亮,赢得了满堂彩。鄙人在刘老师基础上再进一步讨论讨论统计物理学的问题。
    如果说统计物理学是所有物理中最为美妙,精微的科学的话(李政道语:我认为统计物理是最为完美的科目,因为他的基本假设是简单的,而他的应用是广泛的),那么Ising模型就是统计物理学中最为有趣的问题。自从1922年楞次提出这个问题开始,近100年来,各路英雄,风云际会,粉墨登场,演出了一幕幕精彩动人的大戏。详情如何,呵呵,且听我细细道来:
    故事的源头要从Lenz先生说起(诸君请注意:此Lenz可不是那位提出电磁感应楞次定理的Lenz),Lenz先生在1922年带了一个博士生名叫Ernst Ising,给他出的博士研究题目就是一维铁磁模型:一维格子下,每个格子有两个状态,表示为,相邻格点的状态相同,则能量最低,状态相反,则能量最高,Ising童鞋的目标是把老师的这个模型求解一下,看看是否存在相变。
    虽然也存在很大难度,但是一维情况还是相对来说比较简单滴,具体步骤如下:
1.  首先写出系统的哈密尔顿量
     
    其中的σi = ±1,分别表示向上和向下自旋。μ表示相互作用能。

2. 写出系统的配分函数

     

3. 求解配分函数Z

    虽然说步骤明确,但是求解起来还是破费周折的,我们滴Ising童鞋,吭哧吭哧使劲的算,最终竟然给出了一维Ising模型配分函数的精确表达式:

    

    哈哈,配分函数一求出来,万事大吉,所有的热力学函数,自由能F,墒S,比热容C,都顺势可以求出了,最终发现比热容C是温度连续函数,所以一维Ising模型没有相变的结论,也就可以自然而然的得出了。

    求出一维Ising模型已经够精彩的了,但这仅仅是后续精彩大戏的一个小序幕,真正惊天地,泣鬼神的贺岁大片还在后面呢,我们后续的内容中,那些大名鼎鼎的人物:Onsager,杨振宁,李政道,Baxter,Wilson,以及包括本网博主,刘俊明教授,张志东教授,都会纷纷出场,

    欲知后事如何,且听下回分解。。。。。。     

   


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