说明：因杨六省老师之邀，先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》、《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数的证明》、《对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑》、《数学界现代版指鹿为马——‘√2= p/q（p，q互质）’是‘√2不是有理数’的反论题？》、《在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明中隐藏着一个“复杂问语”的谬误》、《√2不是有理数的两个广为流传的无效证明》以及《通过举反例加深对反证法两个要点的准确理解》等相关质疑论述进行了转载，分别已经有数百或者数千人次的点击量。2021年9月29日杨六省老师又寄来新作——《对文兰悖论的消解》，邀请转载，因我本人对数学一窍不通，仅仅出于帮助开展学术讨论，明辨是非，弄清正误之目的，再次将其转载于下，敬请数学行家进行评议，也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

对文兰悖论的消解

杨六省

Yangls728@163.com

文兰先生提出了一个新的悖论，叫做三卡悖论。但是，用三张卡片构造悖论的形式很多，例如，“三位哲人谁在说谎？”也可以叫做三卡悖论。为了区别起见，笔者把文兰先生提出的三卡悖论称作文兰悖论。下面我们就来介绍这个悖论。

    有三张卡片，它们上面分别写有如下内容：

          第二张卡片的句子为真，且第三张卡片的句子为假

          第一张卡片的句子为假，或第三张卡片的句子为真

                第一张和第二张卡片的句子都为真       

    设第一张卡片的句子为真。由其所述，第二张卡片的句子为真，且第三张卡片的句子为假。这样一来，第三张卡片的句子之所述就被肯定了，因而第三张的句子为真，与已经证明了的第三张卡片的句子为假的事实矛盾。这一矛盾证明，第一张卡片的句子必为假。

于是，第二张卡片的句子之所述就被肯定了，因而第二张卡片的句子为真。又，第三张卡片的句子之所述就被否定了，因而第三张卡片的句子为假。但这样一来，第一张卡片的句子之所述就被肯定了，因而第一张卡片的句子为真，与已经证明了的第一张卡片的句子为假的事实矛盾。至此已穷尽所有可能而处处遇到矛盾。（文兰.悖论的消解（第一版）,科学出版社,2018：17）

我们先来看文兰先生是如何给悖论下定义的。他说：“在推理须符合逻辑规则的约定下，我们提出一个不同的定义：悖论是推出矛盾但原因不明的推理。”（同上书：第1页）

笔者对上述悖论定义的质疑是，既然我们不明了悖论发生的原因是什么，又如何去消解它呢？犹如医生不明病因，又如何去治病呢？所以，文兰先生的书名《悖论的消解》与他所给出的悖论定义是自相矛盾的。事实上，消解悖论难道不就是要找出悖论发生的原因，从而否决这种原因吗？

笔者并不认为，文兰悖论是被文兰先生发现的，确切的说法应该是，它是由文兰先生设计的。事实上，文兰先生在其书中第19页就写道——“在制作这个‘三卡悖论’时”如何如何。

我们先来介绍布里丹的第九个诡辩——柏拉图-苏格拉底对话悖论（俗称双卡悖论）。

这个悖论的条件由柏拉图的话“苏格拉底说的是对的”和苏格拉底的回答“柏拉图说的是错的”组成。如果柏拉图的陈述是对的，那么该陈述就是错的。如果柏拉图的陈述是错的，那么苏格拉底的陈述也是错的——苏格拉底陈述的意思终究是在说，柏拉图的陈述是对的。

关于这个悖论，笔者在《悖论是什么——70个悖论的消解》一书中评论道：“柏拉图的陈述与苏格拉底的回答是不相容的，即所给条件是相互矛盾的。如果柏拉图的陈述是对的，这时应用苏格拉底的回答，就是在应用不相容的条件，这不是有效推理。所以，所谓从柏拉图的陈述是对的推出了该陈述是错的，这样的推理是无效的。如果柏拉图的陈述是错的，由其说过的话，能推出苏格拉底的回答是错的，这一步推理没有应用不相容的条件，所以是有效推理；然而，再应用苏的回答，就是应用了不相容的条件，故这一步推理就是无效的。所以，由柏拉图陈述是错的又推出该陈述是对的，也是无效推理。”

上述评论揭示，双卡悖论中的推理是无效的，这就是该悖论产生的原因。原因找到了，对这种原因（无效推理）进行否决，即不认可这种无效的推理，这就是对双卡悖论的消解。

下面我们来看三张卡片之间的关系。

假设第一张卡片的句子为真，说明其中的两句都真。第二张卡片中的前一句与第一张卡片的句子为真的假设相矛盾，故为假。第二张卡片中的后一句与第一张卡片中的后一句相矛盾，故同样为假。这说明，假设第一张卡片的句子为真，则第二张卡片的句子为假。

假设第一张卡片的句子为假，只需其中的任何一句为假。假设第一张卡片中的前一句为假，说明第二张卡片中的前一句为真，于是，第二张卡片的句子为真。假设第一张卡片中的后一句为假，说明第二张卡片中的后一句为真，于是，第二张卡片的句子为真。

综上所述，第一张卡片的句子与第二张卡片的句子是一真一假，故第三张卡片的句子必为假。于是，前两张卡片的真假就都只取决于各自的前一句的真假。这样说来，前两张卡片就是被镶入三卡悖论中的一个双卡悖论，很是有趣！

下面我们来揭示，文兰悖论的发生原因是什么。

需要特别提醒的一点是，不要忘记上面已经得出的结论，即前两张卡片实际上是双卡悖论的一个变体。因此，任何一张卡片中的前一句都是在说反话，都是在做自我否定，就像说谎者语句一样，这是双卡悖论的题设条件（注：笔者关于说谎者悖论的消解，可参见笔者的《悖论是什么》一书，或《前沿科学》2014年第1期中笔者文章）。

假设第一张卡片的句子为真。依据第一张卡片中的前一句，推理中用了“由其所述，第二张卡片的句子为真”这一表述，从而认可第二张卡片的句子为真，这种做法是违反双卡悖论中“所述必反说”原则的。因此，由假设第一张卡片的句子为真是推不出第一张卡片的句子为假的。

假设第一张卡片的句子为假。依据双卡悖论中“所述必反说”原则，第二张卡片中的前一句就应该是第一张卡片的句子为真，但推理中没有这样做，这是违反双卡悖论中“所述必反说”原则的。因此，由假设第一张卡片的句子为假是推不出第一张卡片的句子为真的。

综上所述，违反双卡悖论的题设条件（所述必反说）是文兰悖论产生的原因。据此，我们有理由不认可该悖论中的推理，这样，文兰悖论就得以消解了。

文兰悖论的构思很是有趣，三卡悖论中还隐含着一个双卡悖论（这一点倒不能理解，想必文兰先生是以双卡悖论做基础构思三卡悖论的，但问题是，在添加新项后，如何能使这个基础得以保持，这就需要技巧了）。同时，这个悖论的推理似真性强，消解有难度，笔者很是欣赏（注：笔者的《悖论是什么——70个悖论的消解》一书，以后再版时，一定会把文兰悖论加上）。笔者也相信，这个悖论能够得以流传。

正像笔者会赞赏一个魔术，但这只是表明笔者对其表演“逼真性”的认可，而不是说，笔者真的就相信点石可以成金之类的事。美国著名科普专家马丁把悖论比作“有点像魔术中的变戏法”，笔者对此很是赞同，因为马丁看到了问题的本质，悖论与魔术一样，其表演（推理）是假的。悖论是什么？笔者的回答是——悖论是无效推理的产物，形象地说就是，悖论是披着羊皮的狼。这里的羊皮是指有效推理，也就是说，有效推理只是一种假象；狼是指由无效推理所推出的A∧¬A及与客观事实相矛盾的结论。

国内学界普遍认为，悖论定义中所涉及的由A到¬A的推理是有效推理。但是，有效推理是指前提蕴涵着结论的推理，这就是说，由上述观点会推出A可以蕴涵¬A，但这显然是荒谬的，因此，上述主流观点是站不住脚的。

既然A不可能蕴涵非A，所以，任何悖论中的由A到非A的推理都不可能是有效推理，这正是任何悖论发生的原因。据此我们说，消解悖论就是揭示导致悖论发生的推理的无效性。

也许有人会问，前提虚假是不是导致悖论发生的原因？笔者的回答是，否。《哥德尔证明》一书的作者说：“纯数学家所面临的问题，不是所假定的前提或从这些前提演绎出的结论是否为真，而是这些结论在事实上是否为初始前提的必然逻辑结果。”

还可能有人会问，所给条件不相容（例如，双卡悖论），是不是一定会导致悖论的发生？笔者的回答仍然是“否”。正像中药铺会备有不同种类的反药，但只要开药方的医生不违反中医用药十八反十九畏，按方抓药，就不会死人。