说明：因杨六省老师之邀，先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》以及《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数的证明》等相关质疑论述进行了转载，分别已经有数百或者数千人次的点击量。今天杨六省老师又寄来“致全国中学数学教师和教科书编者的一封公开信——对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑”，对于以前的质疑论述以及相关人士的反驳进行统一答复。因我本人对数学一窍不通，仅仅出于帮助开展讨论，明辨是非，弄清正误之目的，再次将其转载于下，敬请数学行家进行评议，也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

致全国中学数学教师和教科书编者的一封公开信

——对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑

杨六省

yangls728@163.com

尊敬的全国中学数学教师和教科书（各种版本）的编者：

    李文林先生在其《数学史概论》（第三版，高等教育出版社，2011年）第39页写道： “正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。这一事实的证明，最早出现在亚里士多德的著作中：……这一证明与我们今天证明√2为无理数的方法相同，亚里士多德声明这来源于毕达哥拉斯学派。”罗素在他的《西方哲学史》（上册，商务印书馆，1963年第1版）第62-63页转述了毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明之后写道——“以上的证明，实质上就是欧几里德第十编中的证明。”并“注解”说——“以上的证明或许柏拉图是知道的。”为了方便起见，笔者采用现今教科书中的证法。下面是人教版数学七年级下册第58页中的证明。

    假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

√2=p/q，

于是                                                                                      p=√2q.

两边平方得                                     p²=2q². 

    由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

    因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

                                              q²=2s².

    所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

    这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数. 

    对于上述证明，笔者提出如下6点质疑：

    第1点质疑，√2=p/q（p，q互质）能作为“√2不是有理数”的反论题的表达式吗？

    关于反证法，一个基本的要求是——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”（摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条）。金岳霖主编的《形式逻辑》一书中也有类似的表述：“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。” 矛盾判断关系务必满足：原论题真则反论题假；反论题假则原论题真

    “√2不是有理数”是原论题，其表达式√2=p/q（p和q不全是整数）；反论题是“√2是有理数”，其表达式应该是√2=p/q（p和q全是整数）。但是，上述教科书是把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题。为了区别起见，我们把表达式√2=p/q（p，q互质）所代表的论题记作“反论题（新）”。下面我们就来揭示，反论题（新）√2=p/q（p，q互质）与原论题√2=p/q（p和q不全是整数）并不构成矛盾判断关系。

     “原论题真”是指，对于“√2=p/q”而言，“p和q不全是整数”成立。这时，谈论“p，q互质”的真假是没有意义的。也许有人会说，不妨把p，q互质没有意义“理解为假”。但问题是，在所有的数学文献中，“互质”和“非互质”概念都是针对两个整数而定义的，我们不可以违反同一律，在同一个论证过程中，对“p，q互质为假”这一说法赋予相互矛盾的含义。因此，上述那个“理解为假”的主意是行不通的。事实上，如果“原论题真则反论题（新）假”成立，则前件要求认可“p和q不全是整数”，后件则相反，矛盾，故“原论题真则反论题（新）假”不成立。

    同理，“反论题（新）假则原论题真”也不成立。

    上述分析说明，教科书（注：当然也包括其他文献）把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题的表达式是违反反证法基本要求的，因为两个表达式√2=p/q（p，q互质）与√2=p/q（p和q不全是整数）所代表的论题并不是矛盾判断关系。

    第2点质疑，由√2=p/q（p和q全是整数）能推出√2=p/q（p，q互质）吗？

    有人会认为，由√2=p/q（p和q全是整数）推出√2=p/q（p，q互质）是理所当然的事。若真是如此，那么，前者假则后者也假。由前者假可知，p和q不全是整数；由后者假可知，p和q非互质，但它们仍均为整数（注：互质与非互质的定义都是针对两个整数而言的），这与前者假时p和q不全是整数矛盾，故由√2=p/q（p和q全是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）。

    关于推理错误的具体原因：当人们由√2=p/q（p和q全是整数）推出√2=p/q（p，q互质）时，显然是把p/q从√2=p/q中割裂开来，然后加上条件“p和q全是整数”进行推理的。如果这样做是合理的，那么，结论“p和q都是偶数”同样也可以由p/q和条件“p和q全是整数”推出，但这显然是不可能的。事实上，由人教书可知，“p和q都是偶数”之结论是根据√2=p/q（p和q全是整数）进行推理的。下面我们就来揭示，由√2=p/q（p和q全是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）的具体理由：在√2=p/q（p和q全是整数）中，等式的左边是无理数√2（注：笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，笔者有理由在说理中把“√2不是有理数”作为论据加以应用），右边是一个分数表达式，所以，√2=p/q（p和q全是整数）是一个矛盾式。希尔伯特说，“如果一个概念具有矛盾的属性，那我就认为这概念在数学上不存在。”因此，表达式√2=p/q（p和q全是整数）不具有存在性。现今的人们都知道，√2具有客观存在性，再加上它又是我们所讨论的对象，所以，我们无疑的会认可√2在√2=p/q（p和q全是整数）中的存在性。这样说来，√2=p/q（p和q全是整数）之所以不存在，只是由于等式的右端不存在。试问，对于一个不具有存在性的东西，何以能够谈论分数的化简呢？还可以换一种说法，现今的人们都知道，对于√2=p/q而言，其中的p和q不可能全是整数，在这种情况下，谈论分数的化简有意义吗？（注：也许有人会说，我们是根据“假设p和q全是整数”进行推理的呀，有何不可？笔者的回答是，正是由于“假设p和q全是整数”导致了“p和q都是偶数”的错误结论，所以，应该否定“假设p和q全是整数”才对）因此，依据上述理由，由√2=p/q（p和q全是整数）是推不出√2=p/q（p，q互质）的。

    第3点质疑，由√2=p/q（p和q全是整数）能推出p和q都是偶数吗？

    答案是否定的，理由参见文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”。

    第4点质疑，当毕达哥拉斯学派认为已经证明了“√2不是有理数”之后，理应反思一个矛盾，这就是，如果“√2不是有理数”是一个正确的结论，那么，“p，q互质”就是一个不相干的假设（注：相干的假设是指，p和q是否全是整数，因而，p和q是否互素就是不相干的假设），因此，应该修正假设，重新证明，但毕达哥拉斯学派并没有这样做！

    事实上，既然已经知道√2不是有理数，就应该知道“p和q都是偶数”是错误的推理结论，理应否定它们，而不是应用这种错误的结论去否定一个不相干的假设。

    第5点质疑，由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，能够说明√2不是有理数吗？

    人教版数学课本在证明的末尾写道——“p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。”

    笔者认为，由p和q都是偶数（注：姑且不论其推理是否有效）与假设p，q互质矛盾，并不能说明√2不是有理数，理由是：由p和q都是偶数只能否定“√2=p/q（p，q互质）”，而不能否定“√2=p/q（p和q全是整数）”，因为p和q都是偶数与“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p和q全是整数”并不矛盾；而由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定，只能确立“√2=p/q（p，q非互质）”（——从而可以推出p和q全是整数，因为“非互质”概念是针对两个整数而定义的），而不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”，因为只有“√2=p/q（p，q非互质）”与“√2=p/q（p，q互质）”才是矛盾判断关系，而由上文“第1点质疑”可知，“√2=p/q（p和q不全是整数）”与“√2=p/q（p，q互质）”并不构成矛盾判断关系。因此，由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定（注：姑且不论推理是否有效），并不能否定反论题“√2=p/q（p和q全是整数），并不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”为真，即并不能说明“√2不是有理数”。

    第6点质疑，在同一论证过程中，对于同一蕴涵关系，既应用它参与推理，又拒绝应用它参与推理，合理吗？

    √2=p/q（q是整数）可以写成p²=2q²（q是整数）。下面的蕴涵关系很容易得到证明：对于形如p²=2q²（q是整数）的表达式，如果p是偶数，则假设条件蕴涵q也是偶数。

    在教科书的证明中，对p²=2q²（q是整数）中的p实施了“设p=2s”之操作（注：这是应用反证法必须要做的事情），因而在p²=2q²（q是整数）之后有表达式q²=2s²（s是整数）紧随其后，依据上述蕴涵关系，这意味着q也是偶数；但是，对于形式相同的q²=2s²（s是整数），却没有实施同样的操作。论证过程表明，上述蕴涵关系既被应用于推理（指对p和q都是偶数的认可），又被拒绝应用于推理（指如果q为偶数，却不再认可后面的s等也为偶数），这种不能一以贯之的做法，不仅违反一致性原则，其实实在在的后果是，它错失了因为假设p为偶数（注：我们已先行的假设了q是整数）会导致矛盾，因而应该否定p为偶数之假设的机会（参见文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”），致使论证必陷于无效。（6点质疑讨论完毕）

    总之，关于反证法的应用，如果反论题的设定是错误的，那么，就不可能通过应用反证法证明原论题——抛开推理的有效性不论，依据反证法的思路，你最终应该否定的将不是反论题，从而，肯定的也就不可能是原论题（注：例如，上文教科书中的证明）。如果反论题的设定是正确的，并且每一步的推理都是合理的，那么，推出的矛盾就一定能够否定反论题，从而确立原论题（参见文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”），相反，如果反论题的设定是正确的，但推出的矛盾却不能否定反论题，不能确立原论题，那么，这其中的推理必存在问题，例如，有些人明明清楚，√2不是有理数的反论题的表达式应该是√2=p/q（p和q全是整数），但却推出了√2=p/q（p，q互质）和“p和q都是偶数”，而依据后者并不能否定反论题，并不能确立原论题，归根到底，是因为关于√2=p/q（p，q互质）和“p和q都是偶数”的推理是无效的（注：理由参见上文“第2点质疑”和文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”）。

    这篇文字所涉及的不只是教学问题，它还涉及对第一次数学危机这一重要事件的准确表述问题。以往所有的的数学文献均认为，是毕达哥拉斯学派首先发现并证明了√2不是有理数。但笔者认为，毕达哥拉斯学派只是最早发现了√2不是有理数，但并没有能够证明它。

    对于上述观点，敬请教科书（各种版本）的编者、专家、中学数学教师及同好批评指正。

致礼！

                                                    杨六省

                                                  2021-03-18

附：笔者关于√2不是有理数的证明

命题：对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。

证明：我们总可以把√2= p/q写成p²=2q²（q是整数）的形式。

① p不可能是偶数

假设p是偶数，设p=2r（r是整数）,代入p²=2q²,得q² =2r² 。如果p²=2q²（q是整数）中的p是偶数，那么，q² =2r²（r是整数）中的q也是偶数；……这样下去，就会推出p和q均含有无穷多个因数2（注：例如，关于p，开始假设p=2r；后面还会假设r=2t；……），从而说明p和q均不是整数，但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾，故对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是偶数。

② p不可能是奇数

理由是，奇数的平方不可能是偶数。

综上所述，对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是整数，换一种说法，对于√2= p/q 而言，其中的p和q不可能全是整数。

附上寄给国外专家的信件

Dear Mr. Keith Devlin,

If we use ψ to express "√ 2 is irrational number", then the expression of ¬ψ should be √2 = p/q (p and q are both integers), not √2 = p/q (that p and q are coprime).

Best wishes!

YANG Liusheng

An open letter to middle school math teachers and textbook editors across the country

— Six Questions about the Pythagorean School's Proof that √2 is not a Rational Number

Liusheng YANG

Chang'an normal school, Shaanxi Province, 710100

Abstract This paper will reveal that: ①setting √2 = p/q (that p and q are coprime) as the Counter-thesis of "√ 2 is not a rational number" is against the basic requirements of the reduction to absurdity.②From the assumption that √2 = p/q (p and q are both integers), we can not deduce √2 = p/q (p and q coprime), and can not deduce that p and q are even numbers. ③According to the contradiction between " p and q are even numbers" and "assuming that p and q are coprime", we can not deduce that √ 2 is not a rational number.④It is unreasonable to use and refuse to use the same implication relation in reasoning in the same process of argument.The article gives a valid proof that√2is not a rational number.Conclusion: the statement of the first mathematical crisis in the history of mathematics should be revised. The accurate statement should be that Pythagorean School only discovered that √2 is not a rational number, but failed to prove it.

Key words: Counter-thesis; Contradictory judgment;consistency; effective reasoning; reduction to absurdity

I don't understand English, I didn't translate the full text into English, please understand.