说明：因杨六省老师之邀，先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》、《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数的证明》以及《对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑》、《数学界现代版指鹿为马——‘√2= p/q（p，q互质）’是‘√2不是有理数’的反论题？》、《在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明中隐藏着一个“复杂问语”的谬误》等相关质疑论述进行了转载，分别已经有数百或者数千人次的点击量。昨天杨六省老师又寄来“√2不是有理数的两个广为流传的无效证明”新作，邀请转载，因我本人对数学一窍不通，仅仅出于帮助开展学术讨论，明辨是非，弄清正误之目的，再次将其转载于下，敬请数学行家进行评议，也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

√2不是有理数的两个广为流传的无效证明

杨六省

yangls728@163.com

    关于√2不是有理数这一结论，有些证明广为流传，但其实是无效证明。

    例1：（参见“证明根号2是无理数的八种方法-百度文库”中的“尾数证明法”）设√2=n/m（n和m都是正整数，且n和m互质），√2=n/m可化为n² =2 m²。易知，n²=2 m²左端的个位数字是0，1，4，5，6，9中之一，而右端个位数字是0，2，8中之一。也就是说，两端的个位都是0，这说明n和m有公因数5，于是推出了矛盾。

    笔者评析：原论题“√2不是有理数”的表达式应该是√2=n/m （n和m不全是整数），上述证明把√2=n/m （n，m互质）设定为反论题，这是正确的吗？互质概念及其真假都是针对两个整数而言的，所以，“n，m互质 ”为假本身就蕴涵着“n和m全是整数”之意；另一方面，原论题√2=n/m （n和m不全是整数）为真表明“n和m不全是整数 ”，这与前一结论不相容，这说明就我们所讨论的问题而言，“反论题假则原论题真”不成立，故上述证明把√2=n/m （n，m互质）设定为反论题是错误的，因而其证明是无效的。

    例2：设√2=n/m（n和m均为正整数），√2=n/m可化为n² =2m²。后者的右端所含2的因数有奇数个，而左端含2 的因数又为偶数个，这就有了矛盾。

    笔者评析：上述证明是无效的，理由如下

   对于n² =2 m²（m是正整数）而言，设m =2^km₁，则有

     n² =2^2k+1 m₁²

    假设n也是正整数，要使上式成立，n所含2的因数个数不得少于（K+1）个

    设n=2^k+1n₁，则有

     2^2k+2 n₁²=2^2k+1 m₁²

    化简上式，可得

     2 n₁²= m₁²

    此时，又出现右端所含2的因数有偶数个，而左端含2 的因数为奇数个。

    ……

    这个过程可以无穷尽地持续下去，也就是说，我们并非能够得到“右端所含2的因数有奇数个，而左端含2的因数又为偶数个”这样一个固定模式，因此，上述证明是无效的。

      需要说明的是，对于n²=2m²而言，谈论m含2的个数，这一点没有任何问题，因为它是可满足的。但是，接下来谈论n含2的个数，就是犯了“复杂问语”的谬误（参见笔者的帖子“在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明中隐藏着一个‘复杂问语’的谬误”）