说明：因杨六省老师之邀，先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》、《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数的证明》以及《对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑》等相关质疑论述进行了转载，分别已经有数百或者数千人次的点击量。今天杨六省老师又寄来“数学界现代版指鹿为马——‘√2= p/q（p，q互质）’是‘√2不是有理数’的反论题？”邀请转载，因我本人对数学一窍不通，仅仅出于帮助开展讨论，明辨是非，弄清正误之目的，再次将其转载于下，敬请数学行家进行评议，也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

数学界现代版指鹿为马

——“√2= p/q（p，q互质）”是“√2不是有理数”的反论题？

杨六省

yangls728@163.com

    笔者于2017-01-01在“数学中国论坛”上发过一个帖子，题目叫“质疑第一次数学危机的真相”，内容是质疑毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的有效性。这个观点后来一直没有变化，只是在说理的表述方面不断改进。

    上海某知名大学一位博士生导师2020年10月份回复笔者，“如果您想就此问题得到更好的评判，可投《国际数学史杂志》或国内其他期刊”，并表示，“会在研究生班上研讨您的大作。”西安也有一位博士生导师表示，打算在他的研究生班上讨论笔者的观点。

    早年毕业于北师大的司全印先生认为，笔者文中的观点将“长存不朽”。

    当然，从网上也看到了不同意见，但都容易给出解释。然而，也有个别观点，就显得特别不靠谱，表明评论者对反证法的内涵及其所依据的逻辑原理几乎没有概念，例如，有位先生评论道，“杨六省先生没有认识到，在反证法中的假定下，不管推出任何的矛盾命题都行，哪怕这种命题，并不能直接否定反论题，或确立原论题。” 说“不管推出任何的矛盾命题都行”，是这样吗？好吧，我们就来看反例。“p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾”，此矛盾表明，假设条件“p，q互质”虚假，根据排中律，“p，q非互质”为真，但“非互质”概念是针对两个整数而言的，天哪！我们这不是在证明“√2是有理数”吗？多荒唐呀！再说，说“在反证法中的假定下，不管推出任何的矛盾命题都行，哪怕这种命题，并不能直接否定反论题，或确立原论题”，那么请问，“不能直接否定反论题”是什么意思？是指“能否定”，还是指“不能否定”？笔者猜想，是指后者，否则，何必应用“不能直接”这种闪烁其词的用语呢？但是，推出的矛盾“不能否定反论题”（注：就像上面举的那个反例），这还叫反证法吗？

    笔者曾将一些帖子发给有关人士和教研单位，征求批评意见，但少有回复。这使笔者想起了“指鹿为马”的典故，因为毕达哥拉斯学派、逻辑学之父亚里士多德、几何学之父欧几里得等科学巨人的威名实在是太沉重了！然而，在笔者已经给出了具体的揭示之后，区分鹿与马，难道仍然困难吗？例如：

    ①√2=p/q（p，q互质）能作为“√2不是有理数”的反论题吗？

    ②由√2=p/q（p和q全是整数）能推出√2=p/q（p，q互质）吗？

    ③由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，能够说明√2不是有理数吗？

    在指鹿为马那个典故中，基于赵高的权势，说“鹿是鹿”，是会引来杀身之祸的！但在我们的讨论中，说“鹿不是马”（——“√2=p/q（p，q互质）”不是“√2不是有理数”的反论题），也会有杀身之祸吗？面对科学巨人的威名，我们到底丧失了什么？是判断力，还是承认真理的勇气？若是后者，我们岂不成了现代版的叶公好龙了吗？人性有弱点啊！即使是大名鼎鼎的大数学家高斯，也不例外，当他发现了非欧几何，仍然没有勇气公开发表，他自称“深恐愚人的叫嚣”。看来，保守势力是多么的强大和可怕啊！

    国家科技图书文献中心（NSTL）预印本，2021-04-21发布了笔者的“对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑”（详见对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑.pdf）

一文。为了说明上述3个问题的解答并不困难，区分鹿与马并不需要多么高的智商，笔者现将预印本文章中的有关部分摘录如下（这些观点在笔者过去的帖子中都能找到，但下面的表述更为洗练，对于这种重复请网友能予谅解）：

    为了方便起见，本文采用人教版数学课本中所引用欧几里得《原本》中的证明方法。

    假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

√2=p/q，

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p²=2q². 

    由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

    因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

                                     q²=2s².

    所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

    这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

    ……

    第1点质疑，√2=p/q（p，q互质）能作为“√2不是有理数”的反论题吗？ 

    所谓反证法是指，“通过确定与论题相矛盾的命题（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的间接论证。反证法的论证过程是： 

    论题：φ

    设立反论题：非φ

    确定反论题非φ假

    根据排中律，非φ假，所以，φ真。”

    “反论题假则原论题真”是反证法的灵魂。把握好这个灵魂需注意两点：一是反论题的设定正确；二是推理正确，二者缺一不可，否则，你将无法否定反论题，无法确立原论题。

    原论题“√2不是有理数”的表达式是√2=p/q（p和q不全是整数），教科书把√2=p/q（p，q互质）设定为反论题，这是正确的吗？互质概念及其真假都是针对两个整数而言的，所以，“p，q互质”为假本身就蕴涵着“p和q全是整数”之意；另一方面，原论题√2=p/q（p和q不全是整数）为真表明“p和q不全是整数”，前后不相容，这说明就我们所讨论的问题而言，“反论题假则原论题真”不成立，故教科书把√2=p/q（p，q互质）设定为反论题是错误的。

    第2点质疑，由√2=p/q（p和q全是整数）能推出√2=p/q（p，q互质）吗？

    如果由√2=p/q（p和q全是整数）能推出√2=p/q（p，q互质），那么，其逆否命题就是“后者假则前者假”，但由第1点质疑的分析可知，这会导致矛盾，故由√2=p/q（p和q全是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）。

    那么，由√2=p/q（p和q全是整数）到√2=p/q（p，q互质）的推理，问题究竟出在什么地方呢？我们来看一下人们是怎样推理的：假设√2是有理数，而有理数总可以写成最简分数的形式，所以，“假设√2是有理数”也即“假设√2=p/q（p，q互质）”。事实上，当人们说“假设√2是有理数”时，指的是“假设√2=p/q（p和q全是整数）”；而当人们说“有理数总可以写成最简分数的形式”时，实际上是针对一个独立存在的分数而言的。但是，人们表述中的分数“p/q（p和q全是整数）”并非独立存在，因为它处于“√2=p/q（p和q全是整数）”之中，尤其是，“√2=p/q（p和q全是整数）”还是一个矛盾式呢！（注：笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，笔者在说理中有理由把“√2不是有理数”作为论据加以应用）简言之，对于一个处于矛盾关系中的分数表达式，我们对其实施最简分数化，这种做法是否合理难道不应该受到质疑吗？寻找答案的最好办法是运用一致性原则，因为是否满足一致性是检验真理的必要条件。事实上，上一段落中的证明结论已对此处的质疑作出了裁决。

    ……

    第5点质疑，由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，能够说明√2不是有理数吗？

    人教版数学课本在证明的末尾写道——“p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。”

    笔者认为，由p和q都是偶数（注：姑且不论获得此结论的推理是否有效）与假设p，q互质矛盾，只能否定√2=p/q（p，q互质），但不能确立√2=p/q（p和q不全是整数），因为由上文第1点质疑可知，√2=p/q（p，q互质）为假则√2=p/q（p和q不全是整数）为真是不可能的，因此，教科书末尾的说法是没有根据的，也是错误的。

    ……

    结束语：让笔者感到欣慰的是，真理和谬误都是一种客观存在，不以人的意志为转移，也就是说，真的假不了，假的真不了。陕北民歌歌词说得好——“树挡不住风”。真理不可能永远被淹没。笔者深信，总会有一天，人人都会承认：只有“√2=p/q（p和q全是整数）”才是“√2不是有理数”的反论题，而“√2=p/q（p，q互质）”则不是，并会感叹道：哦，可不是嘛，原论题“√2不是有理数”怎么会存在两个实质不同的反论题呢！