我的分形研究正传

王安良

2019-04-11草稿

2019-04-12修稿

按：这几天热点是“黑洞”，我不想凑热闹，把自己在“分形应用”方面的学习和研究梳理和回忆，写下来，免得遗忘了。本想起名“我的分形研究”历史、简史、正史、小史…，觉得都差点意思，就借用鲁迅先生创造的词，叫“正传”。

我大概二十年前知道“分形”这个词，缘自我的师兄和博士导师（当时还不是）在研究这个，并有文章发表。师兄的桌子上摆了几本有关分形的书，都是中国人编写的，偶尔我也会翻一翻。转博之后，第一次见导师，我就主动要求接着师兄的工作“搞”，并想到用小波变换来处理分形对象，且选修了数学系一位老师开设的小波分析课程。

在新世纪左右，分形学已经从热门在许多领域“冷却”了下来，虽然其原先的“热”也是在数学之外的学术圈子，曾听不止一个数学家亲口说：分形是被你们工程应用领域的人热捧的名词。言语中流露出规劝和不要跟风、凑热闹的意思，有个老师还特意嘱咐我：先弄明白什么是分形，并要辨别所研究的对象是否为分形。至今，我听过唯一有关分形的报告是文志英做的，但没听懂。

由于没怎么学懂傅里叶变换，我上小波分析课时，也听得云里雾里。记得课程快要结束时，有个跟我一块听课的机械学院的在职博士生问我：听懂了没有？他不等我回答，就说听这些纯粹数学理论的东西，既听不懂老师也不教怎么用，真是浪费时间。小波分析的课上完之后，我买了两本相关的书来读，学起来还是很费劲。主要是公式很多，有些符号不会用，很长时间无法一步步把公式推导清楚。直到有一天，看到一本C语言程序书，上面居然有小波变换程序的源代码，照着样子敲进计算机，并在Visual Studio C++软件平台上运行通过了，才基本明白小波变换是怎么回事，才会用小波谱来计算曲线的分形维数。回过头，才能把公式基本理顺。

最关键的一个突破性技巧是：书上和英文文献中写的用小波谱模的极大值来求分形维数，计算了一两个月，结果比我用别的几种方法的精度还低。导师都说了：如果还不行就放弃小波变换吧？我想再找找原因。突然有一天想到用别的模试一试，比如一范数或二范数，一算，精度好多了。后面事情就“容易”多了，先是发中文文章，再整理发英文文章（那个时候，好像鼓励这么做）。

当时的研究方向是沸腾换热与珠状凝结，核态沸腾气泡（或液滴凝结）产生的基础是表面上的活化核心，而活化核心跟表面粗糙度直接相关。所以，我的分形研究对象首先是表面粗糙度曲线。由此还联系到单变量时间序列，比如压力信号、温度信号等等。这样我就学习和认识了混沌及时间序列的奇异吸引子。由此，专门写了一篇关于应用Grassberger-Procaccia算法的文章。这就算是我在学生时代学习和应用分形理论的高峰。后来对接触热阻产生兴趣，也跟此有一定关系。

在博士生阶段，应用分形理论的收获有三点：

1 数学分形几何和工程对象的分形不是一回事，或者说许多东西只能说看起来像是“分形”，最多是统计学上的“分形”，并非严格符合数学上的分形几何。

2 同一种对象，比如粗糙度曲线，有的曲线可以有分形特征，有的曲线没有分形特征。

3 用具有分形性质的尺子去“量”可能的分形对象，效果较好，比如小波。

工作以后，换了学院，到了一个陌生的环境，参加到工程应用的课题组里，大部分时间都在做别人的实验、忙别人的项目、指导别人的学生。独立之后，教学也越来越重要，思考科学问题的激情虽有，但只能碎片化利用时间，有时候居然会彻夜不眠，阅读和笔记，比如对于分形在表面几何形貌评价方面，在2009年左右，可以说达到一个认识的极点。

又过了十年，就如电影画面突然切换一样，期间分形研究好像消失的无影无踪，不在我的任何文章里出现了，似乎我过上了“光滑”的平庸生活。而事实上，我在用所有的“琐碎”时间在阅读、学习和思考，把文学书当论文来“研究”，把专业书当小说来“看”。学得越多，越能体会到自己当年的浅薄和果敢，就越是珍惜时间，不断补充自己：从理论到工具。分形与流形，粗糙、随机和光滑，可逆、耗散与不可逆，对称与反对称，相对论与绝对论，量子态粒子、星系和宇宙，航空、航天和航海，陆地上的主流动力技术…数学、科学与文学。

分形理论和小波方法已经融入了我的血脉里，从未间断。虽然它们时刻在提醒着我，生活并不完美，事物总是渐进出现和消失，变换永恒，学术无处不在，没有什么不能建模、推演和仿真，没有什么能离开科学，越来越多的思考需用语言来表达和交流。近来，每天呼吸着新鲜、润湿的英伦空气，看着天空变换无穷的云，翠绿的大片草地，鸟顿家的树掉落了一地苹果、渐渐腐烂并化入泥土，听着咔哒的车轨声，心放松，思绪飞扬，恢复运动，感觉真好。水仙和樱花渐次盛开，春天又来了。

是以为记。