献给Mandelbrot先生百岁华诞

2024-04-02

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昨晚，又没休息好，此稿源自二十年前的科研探索。廿年，修修改改就过去了，仍然是草稿。Mandelbrot先生已去世14年了，又是一年清明到，不能再拖了。

The calculation or measurement of surface area:

A key multi-scale mathematic and physics problem

Anliang Wang

1 School of Astronautics, Beihang University, Beijing 100191, China

Email: anliangwang@163.com

摘要:

人类的观念需要改变。两点之间存在无限长的线段，物体存在无限大的面；在四维时空内，物体的体积不是永恒不变。欧氏几何作为一种几何模型，需要人为给定测量尺度的最大值和最小值，这是传统欧氏几何在处理实际问题的局限性。现实物质世界也可以用其它几何模型来描述，比如黎曼几何、分形几何。而人们必须正视欧氏几何或微分几何的局限性，即需要在一定的测量尺度范围内，符合标度无关性，才能获得所谓的长度、面积及体积等。特别需要注意，不同对象之间的分形维数常常没有统计一致的定量关系，Mandelbrot的方法用于处理表面积只能当做一个特例。连续不可微对象在物体表面和界面是普遍存在的。微积分只是连续性物理问题的一种处理方法，实际中可以不用微积分计算表面积，也实证了四维时空不仅存在一种微积分模式。

在一定的尺度下，人们能够创造具有分形结构的物质，并能够满足某种功能需要，比如采用碳原子。从欧氏几何到分形几何；从牛顿微积分到新的对数微积分。人们对物理和数学认识有了一个新的跨越。如果一条线是连续不可微的，那么从静态来说，它的长度可以是标度尺的分数倍。

为何要计算表面积？正如Mandelbrot所说最早的问题源于测地[1]。而目前涉及所有的科学与工程领域，在介观跨尺度范围，尤其是微纳尺度物理化学问题有直接应用价值。比如，建筑，力学问题，热学，电磁学，生物学问题等。同样的需求存在于体积（或代谢率）计算。人类有需要才有表面积的计算。

计算面积的基础条件有两个： 1长度测量的标准。standard of length measurement. The meter is the length of the path travelled by light in vacuum during a time interval of 1/299 792 458 of a second. 2. 面积是经典欧氏几何框架下的概念。在欧几里得几何和微分几何框架下，计算物体的面积已有逻辑严密的数学方法，面的拓扑维数是2，直线是1。测量长度是获得面积的基础，二者在欧氏几何框架下的基本关系是

                           （1）

或

                           （2）

这两个条件对于大多数问题是不证自明的。但是随着研究的深入，测量尺度的选择越来越重要。

给一段话详细分析如何计算复杂结构的面积。

可以列写几个公式；

用圆、正方形、三角形计算a。

尤其是对图1和图2（雪花面积）。

爱因斯坦时代，非欧几何获得了长足的进步，人们意识到客观世界中欧氏几何在许多问题面前有局限，尤其对很大尺度（如宇宙）和很小尺度（如原子及核内的微观世界），并有了新的认识。更进一步的数学发展是微分几何，对连续可微的二维拓扑对象，均能衍生出面积的概念，如黎曼几何中三角形的面积。

事实上，还有一类几何问题，在爱因斯坦之前人们就注意到了，那就是分形几何。M氏起到了关键性的作用，并使该类几何在许多实际问题上得到了巨大的应用。他的创新灵感来自对海岸线长度数据的分析。为了计算表面积，M氏又以Kurcak’s empirical number-area rule for islands为基础，假设面积分形维数与轮廓分形维数之间为1/2的关系，这在本质上只是个很理想化的假设，许多情况下能举出相反的例子。后来他们又提出了multifractal spectrum的概念。M氏虽然已经离我们而去，但分形理论对科技界的影响并没有停止。

而用雪花形面积也可以作为基本单元，或称有限元方法来求解表面积。

Figure 1  The relationship between area and length, its inner meaning is infinitely long plane contains a line.

在欧氏空间里，直线与曲线的长度L与测量标尺无关，隐含条件是他们都是连续可微的；同样对于光滑连续的平面和曲面，面积A也是确定的。但是，对于严格的数学分形对象，本质上来说是长度与面积并不确定，分形维数作为一个关键的参数，与拓扑维数有同等重要的数学和物理含义。分形概念的提出，也就宣告了客观物质有线条，但未必有确切的长度；有表面（界面），却未必有确定的面积；体积也未必可度量。

自然世界是复杂的，在一定的尺度范围，有些对象表现出分形特征，有些却没有。作为首要问题，评价某个对象是否具有分形，所有研究人员都无法回避，并提出了许多数学方法。根据拓扑特征，一般应归成如下几种类型：点、线、面、体和高维对象，以方便处理。并引入基本物理、化学、生物学以及工程等的基本机理或常识。

借鉴晶体学的概念，固体表面和界面是由原子或离子构成的点阵结构，相对静态稳定，可以构造一种四点面作为基本有限元尺度，即给出a，即可测量A，对于连续无孔表面，则有：

                           （3）

                           （4）

d∈[0,1].

如果表面服从严格自相似分形，即在分形几何中，除非d=0，A→∞。

对于实际物体的表面积，有如下实用公式：

                           （5）

连续不可微对象的普遍性讨论。

有限面积的面，包含了无限长的线段；线上某一点不仅仅有一条切线，而有多条甚至无数条。有限的体积内，也包含了无限大的表面，而且这两种一定是自然界常见的现象。需要用新的数学工具来处理这些问题。如果需要计算表面积，那么这个面在深层次上一定不是严格意义上的分形表面，换句话说海岸线长度无法确定与这个问题在逻辑上否等价。

各类分形特征之间的关系是人们一直关心的关键问题。

数学逻辑与实践经验之间相互印证，逻辑体系是对客观经验的抽象。当某种体系无法处理面临的新问题时，客观上就需要新的理论，而新理论体系的完善是一个艰苦的过程。M氏根据经验关系，给出了一个关系式。事实上，小岛周长的分形维数与面积分布维数之间并不是简单的1/2关系，分为光滑小岛、分形粗糙小岛和随机小岛。人们公认物质是由原子和分子构成的，那么理论上静态的表面积就是确定的，表面上有物理含义的线的长度也是。

如果表面上有无数条分形曲线，而表面无论在整体上还是局部均不是严格的分形，则在欧氏空间里表面积收敛到某个常数；如果体积上有无数个分形曲面，而体积无论在整体上还是局部都不是严格的分形，则在欧氏空间里体积也收敛到某个常数。本质上来说，严格的分形对象并没有长度、面积和体积的概念，或者说不能进行积分和微分计算，而实际的物体，在某些限定条件和模型约束下（至少遵从欧氏几何框架），面积等概念才有实际效用。

在上个世纪90年代左右，分形是美丽的图片还是本质工具，对此类问题数学界陷入了混乱的争论，当时的共识是分形可能与一些重要的理论相关联，但还有许多工作要做[16]。近来，Naschie提出了E-infinity 时空理论[17]，与分形理论有着直接联系，但因其在同一期刊大量发表文章而备受争议[18]。面积维数与轮廓曲线分形维数的关系

自然界计算面积具有复杂性与适用范围。反面教材如：[2][5][7][12]（尤其是文献12）正如在有限的面积里存在无穷长的曲线外，在有限三维体积里也存在无穷大的面。实际的宇宙物质空间里纯粹的欧式几何不存在，纯粹的分形也同样不存在。只在一定范围内近似存在。有了很多经验性的关系式，即指数分布。体现了两种数学体系的交互作用。

对数坐标系

若对无限长的“线段”进行数值“积分”，将得到一个有限的面积。同样，在有限的体积内，也存在无限大的面积。分形线与面之间多数情况下，没有直接关系，更不用说数值关系了。如果是严格自相似分形，则在对数坐标系上为线性或间断线性。

与欧氏空间的线段与面域相同，分形也存在截止点。分形是与欧氏几何相对等的框架。

场与相的概念

连续与不连续只是人为的抽象概念。而连续不可微的对象在自然界并不是偶然的，尤其是跨尺度领域，计算面积尤其应引起重视。

场的特点是内部连续可微，边界即为相；相的特点是内部连续不可微，边界即为场。

可微分矩阵；矩阵求积分。引入量子数学的概念。

几个有价值的应用方面

（1）数学领域

面积的计算在欧氏空间里的精确测量，在跨尺度领域可能意义并不明显。而由于自然界连续不可微现象的普遍性，需要建立新的微积分体系来解决相关问题。

在三维欧氏几何空间内，是否有别的不同于微分几何的几何方法？分形几何提供了一种方向。生物领域对尺度非常敏感，在一定的尺度下，面积已经不是一个有效的表征参数。在跨尺度范围，物质的几何特征与动力学行为是相互耦合的，稳定的几何只在一定的尺度范围有效。从实用的角度来说，从原子尺度到宏观尺度，如果符合严格的分形特征，静态的表面积最大为？

如果以前的微分几何属于人类理性思维的顶峰，那么不可微几何就是人类感性思维的顶峰。客观世界里，这两个谁也不能征服谁，谁也离不开谁。

从数学的角度来讲，面积仅仅是个工程化的概念。

（2）接触界面（表面）工程建模

力、热、电学与几何的耦合问题，都是连续可微模型，过渡到连续不可微的模型。要综合两方面的模型，应放弃非此即彼的思想模式：即有限的不可微，用无限的可微进行高阶近似处理。微纳尺度上的结构模型，除了考虑物质由离散化的单元组成外，结构几何应符合连续性规律。

在给定体积和质量的静态物体，极小面积和极大面积均有价值。

（3）微观原子领域

物质是否无限可分？从静态几何的角度，无论是欧氏几何还是M氏几何，并无任何逻辑障碍，但是物质结构形成后，用几何方法描述界限逻辑思路是否自洽？这就是微分同胚的多样性。电子运动如果用连续不可微来描述，效果更好。

（4）宏观宇宙领域

在四维空间里面，无穷大表面积有何物理含义？现实生活中应有更高维的存在。

（5）随机性问题

很显然，随机性结构是包含于几何学的基本规则之一。

References and Notes

[1]     B.B. Mandelbrot, Stochastic models for the earth's relief, shape and the fractal dimension of coastlines, and number-area rule for the islands, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 72 (1975), pp. 3825–3828

[2]     Benoit Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, Science 5 May 1967: Vol. 156. no. 3775, pp. 636 – 638

[3]     George R. Newkome, Pingshan Wang, Charles N. Moorefield, Tae Joon Cho, Prabhu P. Mohapatra, Sinan Li, Seok-Ho Hwang, Olena Lukoyanova, Luis Echegoyen, Judith A. Palagallo, Violeta Iancu, and Saw-Wai Hla, Nanoassembly of a Fractal Polymer: A Molecular "Sierpinski Hexagonal Gasket", Science 23 June 2006 312: 1782-1785

[4]     http://www.fractalus.com/ifl/

[5]     http://en.wikipedia.org/wiki/Surface

[6]     http://en.wikipedia.org/wiki/Surface area

[7]     J.A. Greenwood and J.J. Wu, Surface Roughness and Contact: An Apology, Meccanica, Volume 36, Number 6,2001, 617-630

[8]     Geoffrey B. West, James H. Brown, and Brian J. Enquist, The Fourth Dimension of Life: Fractal Geometry and Allometric Scaling of Organisms, Science 4 June 1999 284: 1677-1679

[9]     Thomas L.Warren and Dusan Krajcinovic. Fractal models of elastic-perfectly plastic contact of rough surfaces based on the contor set. Int. J. Solids Structures, 1995, 32(19):2907-2922

[10]   David Avnir, Dina Farin, Peter Pfeifer, Molecular fractal surfaces, Nature 308, 261-263 (15 March 1984)

[11]   Eric Jakeman, Applied mathemetics: Scattering by fractal objects, Nature 307, 110-110 (12 January 1984)

[12]   Stoneham M, Defects in semiconductors and oxides: where are the gaps in first principles theory? MODELLING AND SIMULATION IN MATERIALS SCIENCE AND ENGINEERING, 2009, 17(8): 084009

[13]   http://physics.nist.gov/cuu/Units/meter.html

[14]   Johan Thim. "Continuous Nowhere Differentiable Functions". Master Thesis Lulea Univ of Technology 2003. http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html. Retrieved 28 July 2006.

[15]   http://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area

[16]   http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_of_revolution

[17]   Robert Pool, Fractal Fracas: The math community is in a flap over the question of whether fractals are just pretty pictures—or more substantial tools, Science 27 July 1990 249: 363-364

[18]   M.S. El Naschie , A guide to the mathematics of E-infinity Cantorian spacetime theory, Chaos, Solitons & Fractals, Volume 25, Issue 5, September 2005, Pages 955-964

[19]   http://scienceblogs.com/pontiff/2008/12/nature_on_el_naschie.php

[20]   http://en.wikipedia.org/wiki/Power_law