从算术说起

    在幼儿园是这样学数学的。桌上有一个苹果，再放一个苹果，是两个苹果，所以1+1=2。有5个苹果，拿走3个，还剩5-3=2个。苹果分成3排，每排5个，共有3x5=15个。总之，加减乘除都是很容易的，理解起来毫不费力，但为什么越学下去会发现数学越抽象呢？

算术虽然简单，可是用途非常广泛。不但能用于算苹果算绵羊，还能算一些看起来完全不同的东西。

比如甲在奔跑，速度是10，而甲前面有一辆车，车相对于甲的速度也是10，则可算出车的速度是10+10=20。速度和苹果非常不同的东西，但也同样能用加法解决。又如，有个足球重量为10，我们一脚踢过去，足球飞出去那瞬间的加速度是5，我们可以算出那瞬间足球受到的力是10x5=50。

为什么截然不同的现象都要用到算术？因为数学本质上是抽象的。是的，即使幼儿园的数学简单，它本质上也是抽象的。这句话如何理解？

有这样的脑袋急转弯题目。什么时候1加1不等于2？其中一种回答是一滴水加一滴水还是一滴水。又有这样的题目，树上有10只鸟，一枪打下一个，还剩几个？答案是没有了，因为全吓跑了。

上面这些题目能说明算术错了吗？1加1不等于2？10减1不等于9？不能。它只能说明，加法不能用于水滴相加这种情况（或者1不能解释为1滴水），减法不能用于打鸟这种情况。

算术本质上是一些数进行运算，我们规定了它的运算规律。它是抽象的，不管现实世界如何，它都是那样子，永远都是1+1=2，1+2=3。我们可以对数和运算给予解释，将它和现实世界联系起来。在有的解释下，算术成了很有用的工具，比如数苹果。这些数对应着苹果的数量，加法就是将苹果放在一起，苹果的数量规律和算术规律完全相同（注释1）。又如算术可用于计算速度计算受力，因为这些日常现象的规律和算术规律相同。但在有的解释下，这工具不能用，比如水滴，比如打鸟。

正因为数学是抽象的，它可以有不同的解释，所以才会有广泛的应用。它是抽象的，所以不用做实验检验一个数学定理是否正确，所以它不会错，除非出现自相矛盾。它是抽象的，所以可能有些数学会完全没有用，因为找不到适合它的解释。

人们花了很长的时间才认识到了数学的抽象性。3减5等于几？我们现在都知道等于—2。但负数究竟存不存在，人们争论了很久，因为那时人们还不理解数学的本质。—2个苹果存在吗，这是什么意思？后来发现—2可以理解为欠了两个苹果。能将负数开方吗？是5，但存在吗？它是多少？后来将这类数称为虚数，规定了它们的运算规律，将它们纳入数学中。再后来，发现可以在坐标系中表示虚数，还发现它们在物理上有很多应用。

数学本质上是抽象的，就算负数和虚数没有找到解释，在现实中没有任何应用，只要它们不出现矛盾，就可以将它们加到数学中去。

我们之所以觉得小学数学简单，是因为这些数学运算是从熟悉的日常经验中总结出来的，尽管它们本质上不依赖于这些经验存在，可以有其他的解释。深入学下去，会觉得数学越来越抽象，那是因为我们学一些更深层更普遍的结构，它们不是直接来源于生活经验。

数学是抽象的，它的元素和运算都可以人为规定。因此我们可以构造不同的算术，比如布尔代数。下面通过布尔代数来体会一下数学的抽象性。

布尔代数：最简单的抽象数学

二元布尔代数是具有广泛应用的抽象数学里最简单的，起码我知道的是这样。数学都是抽象的，这里特别指出抽象数学，是指这类数学先有抽象的运算，并不知道这运算在现实世界中意味着什么，后来才找到应用，或者是根本没有应用。（注释2）小学算术从日常经验中总结出来，按这里的理解不是抽象数学。

实际上，相对来说布尔代数不算抽象，因为很容易将布尔代数和日常生活结合起来。很多数学远离日常生活经验，比它抽象得多复杂得多。这里只谈二元布尔代数，所以这篇文章说的布尔代数都是指二元布尔代数。

    布尔代数的定义：

它只包含0和1两个元素，有三种运算，乘法运算、加法运算和负运算。

1、乘法运算：

0x0=0；0x1=1；1x0=0；1x1=1

2、加法运算：

0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1

3、负运算：

0’=1，1’=0

在布尔代数里1+1=1，和通常的算术不同。1+1=2在这里肯定是不成立的，因为这里根本没有2这个元素。那有没有矛盾呢？1加1究竟等于1还是等于2？没有矛盾，这里是另一个体系。0、1、+、x这些符号只是碰巧和以前的算术相同，我们完全可以用别的符号代替。比如用m代替0，用n代替1。就如同苹果这个词，既可以指某种水果，也可以是手机品牌，它们只是碰巧名字相同。

我们规定运算的优先顺序是负运算、乘法运算、加法运算。所以，a+(bxc)和a+bxc是同一个式子，而(a+b)xc和a+bxc不是同一个式子。

理论上还可以定义其他的运算，但上面这三种运算已经够了，其他的运算都可以用它们构造出来。

举个例子，我们定义一种Å运算：

1Å1=0，1Å0=1，0Å1=1，1Å1=0。

可以证明：

aÅb = axb’ + a’ xb

Å运算又称异或运算。

在这种简单的代数里，我们也有各种各样的定理。比如，任何运算都可以用加法乘法负运算构造出来，而且有一种固定的方法来找到这种构造。

布尔代数还有其他更常见的定义，见注释3。

布尔代数的应用

这种古怪的布尔代数有什么用呢？用处很多，对元素和运算的解释不同，有不同的应用。

在逻辑学的应用

把1理解为真，0理解为假，+理解为或者，x理解为并且，’ 理解为并非。

例子1：

太阳是三角形的。因为这句话是假的，所以它的真值是0。并非太阳是三角形的，这句话的真值是0’，即1，也就是真的。也就是说，一个命题的真值是a，则它的否定是a’。

例子2：

张三是男的，并且李四是女的。这句话包含两部分，两部分都是真的它才真，有一部分是假的，它就是假的。比如李四如果不是女的，这句话就假了。

这句话的真值可用axb表示，因为a和b都是1，axb才是1，如果有一个0则axb的值就是0。

在电路设计的应用

布尔代数在电路中有极重要的应用，我们天天用的手机和电脑的电路设计都离不开布尔代数。下面举例说明如何用布尔代数来帮助设计实现加法的电路。

在数字电路里，有两种电压，分别是低电压和高电压，又叫低电平和高电平，对应着0伏和5伏（有时候是其他的数值）。我们把布尔代数里的0理解成低电平，1理解成高电平。注意，这里0和1对应的是不同的电压状态，它和具体的电压数值没有关系，如刚才说的高电平是5伏，但这里用1而不是5表示。

数字电路里有门电路，将电压在不同的状态间进行转换。三种布尔运算对应的是下面三种电路。

负运算对应的是非门。非门总是把电平从一种状态转换成另一种状态，输入低电平输出高电平，输入高电平则输出低电平。

加法运算对应的是或门，A和B有一个高电平，则Y高电平，两个都低电平则Y低电平。

   乘法运算对应的是与门。在与门里，输入A和B里有一个是低电平，则Y输出的是低电平，A和B都是高电平，则Y是高电平。

现在想用这些门电路实现一位数的加法运算，该怎么办？因为只有低电平和高电平两种状态，所以只能有0和1两个数字，所以只能采用二进制。即0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10。注意这里的+是通常的算术加号，而不是布尔代数的加法运算符号，所以这里用斜体表示。因为是二进制，这里的10相当于通常的2。

即要设计一种电路，有输入A和B，输出C和S。A是输入的第一个加数，B是输入的第二个加数，S对应是结果的个位数，C对应的是结果的第二个数。它们的关系如下表。

表格里A、B、C这三个数的关系对应着与运算：AxB=C，所以用与门实现。

A、B、S这三个数的关系对应着另一种运算，刚好是上面说的Å运算，即C=AÅB = AxB’ + A’ xB，也可用相应的门实现。

这样实现的电路称为半加器，具体电路图如下：

注释：

1、可以想象出不符合算术规律的苹果，比如两个苹果放在一起突然消失了，但这时候算术仍然是正确的，只是在这里它不能用了。

2、按这里的理解，严格来说布尔代数也不是抽象数学，因为布尔发明这种代数的时候希望用它来表示逻辑推理。

3、二元布尔代数的另一种定义

这是数学上更常用的定义方法。下面的a、b都是变量，即代入0或1式子都成立。a和b的运算符合下面的规则。

(1)交换律

a+b=b+a；

axb=bxa

(2)分配律

ax (b+c)=axb+axc；

a+(bxc)=(a+b) x (a+c)

(3)零元运算

a+0=a

(4)单位元运算

ax1=a

(5)负运算

a+a’=1；

axa’=0

可以证明，两种不同的定义实际上是等价的，即元素间的运算，在两种定义下的结果相同。

比如在这种定义里有0+1=1。证明如下：由交换律有a+0=0+a，由零元运算有a+0=a，所以有0+a=a，用1代入a得，0+1=1。

又比如可以证明0’=1。从负运算得0+0’=1，从零元运算得0+0=0，又因为刚才证明了0+1=1，所以0’=1。