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[打听，科普，数学] 素数（70）：超现实数 surreal number 与数的其它推广（1）

已有 95 次阅读 2026-5-20 23:30 |个人分类:资料与科普|系统分类:科研笔记

为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

用清晰的思想代替盲目的计算。

Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

第一条，这一条也是我所喜欢的，是对你所计算的过程有一个清晰的物理图像。

One way, and this is the way I prefer, is to have a clear physical picture of the process that you are calculating.

—— 费米（Enrico Fermi）

[打听，科普，数学] 素数（70）：超现实数 surreal number 与数的其它推广（1）

超现实数： surreal number

实数域： real number field, field of reals

复数域： complex number field

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

平凡零点： trivial zero

非平凡零点： nontrivial zero

临界带： critical strip

欧拉乘积： Euler product

几何级数： geometric series

解析延拓： analytic continuation

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、数的其它一些推广

在线性代数中，二元数（英语：dual number）是实数的推广。二元数中有一个“二元数单位”ε，它的平方ε² = 0（亦即ε是幂零元）。

双曲复数（英语：hyperbolic numbers 或 split-complex number），是异于复数而对实数所做的推广。

四元数（英语：quaternion）是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年创立出的数学概念。作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以 a + bi + cj + dk 的形式说明空间点所在位置。 i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i⁰ = j⁰ = k⁰ = 1，i² = j² = k² = -1。

双复数（英语：bicomplex numbers）是拥有以下形式的超复数：

2026-05-20 双复数是拥有以下形式的超复数.jpg

八元数（英语：octonions）是四元数的一个非结合推广：

2026-05-20 八元数是四元数的一个非结合推广.jpg

抽象代数中，复四元数（英语：biquaternion，complex quaternion）为一数值 w + x i + y j + z k，其中 w、x、y、z为复数，而 {1, i, j, k} 等元素的乘积方式同四元群。

十六元数（英语：sedenion）透过实数形成16维的向量空间。彷如八元数，其乘法不符合交换律及结合律。然而，与八元数不一样，十六元数甚至不符合交错性。尽管如此，十六元数仍然符合幂结合性。此外，十六元数中存在零因子（zero divisor），例如(e₃ + e₁₀)•(e₆- e₁₅) = 0，这点与八元数截然不同（因此，十六元数无法构成整环（integral domain），也无法构成除环（divisor ring））。