为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[打听，科普，数学] 素数（67）：黎曼假设为什么长期没有得到解决？

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

平凡零点： trivial zero

非平凡零点： nontrivial zero

临界带： critical strip

欧拉乘积： Euler product

几何级数： geometric series

解析延拓： analytic continuation

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、著名的数学难题长期得不到解决，主要原因有

   （1）问题的表述带有不确定性

    由于问题的表述（描述）不够明确，利用现有的人类知识，很难做出明确的肯定或否定。

   （2）现有的数学知识不够，不能解决它们。

    需要发明新的数学理论、数学工具。

   （3）还没有找到合适的方法

   亦即，将来我们人类会看到：当前的数学理论足够，但现在我们人类还没有找到合适的方法。

   网上 AI 的更细致的说法：

   ‌1. 问题本身的复杂性与深度

‌   2. 缺乏有效工具或方法

   3. 认知与逻辑局限

   ‌4. 技术与计算限制

   ‌5. 问题设定的内在障碍

   ‌6. 跨学科整合难度大

二、黎曼假设为什么长期没有得到解决？

   下面是一些网上观点的汇集整理。

   （1）数学家们已经尝试过复分析、代数几何、表示论、随机矩阵理论甚至物理学中的概念，但都未真正做错明确的判断（肯定，或否定）。

   （2）作为“数学第一难题”，黎曼猜想将诸多孤立的数学问题连接在一起。它实际上是数学里某些更深层、尚未被发现的结构的反映。

   （3）全称命题的逻辑强度‌：黎曼假设断言“所有非平凡零点的实部均为1/2”，这是一个‌全称命题‌。即使验证了前10万亿个零点都满足条件，也无法排除在更高处存在反例。数学上，“测度为零”不等于“不存在例外”，因此密度类结果（如证明99.99%的零点在临界线上）在逻辑上无法替代对每一个零点的约束‌‌。

   （4）缺乏合适的数学工具‌：当前解析数论、代数几何等工具虽能处理ζ函数的局部性质（如函数方程、渐进行为），但‌无法触及零点分布的全局控制机制‌。陶哲轩曾比喻其“如同没有阶梯的悬崖，现有工具缺乏着力点”‌‌。

   （5）加法与乘法结构的深层割裂‌：黎曼ζ函数通过欧拉乘积连接了加法（自然数求和）与乘法（素数乘积）结构，但数学界‌缺乏统一的语言或框架来同时表达这两种基本运算‌。这种“算术分裂”使得难以建立从离散素数分布到连续复分析的严格桥梁‌‌。

   （6）几何直觉失效‌：猜想涉及复平面上超越函数的零点行为，需在四维空间（实部、虚部、函数值实部与虚部）中理解，‌远超人类几何直觉能力‌。即使借助计算机可视化，也难以洞察其内在对称性‌‌。

   （7）‌反例可能存在于计算不可达区域‌：若存在反例，其虚部可能极大（如 Im(s) > 10³⁰ ），‌超出当前数值验证能力‌；且需证明该例外非数值误差所致，这在理论上极为困难‌‌。

   （8）黎曼本人未留下完整思路‌：他惜字如金，仅在 1859年论文中提出猜想，未给出证明线索。其工作风格受高斯“宁肯少些，但要成熟”影响，导致后世缺乏直接指引‌‌。

   （9）‌“验证≠证明”误区普遍‌：尽管计算机已验证超 10¹³个零点均满足假设，但‌有限验证无法替代无限域的严格证明‌，这反而可能误导对问题本质的理解‌‌。

   （10）‌过度依赖“影子分析”‌：现有研究多聚焦于ζ函数零点的统计特性，‌却未触及零点产生的根本机制‌，相当于只分析“影子”形状，而不探究光源与物体的本体‌‌。

   黎曼假设的困难源于‌数学工具的缺失、结构的深层割裂、逻辑的极端强度以及人类认知的边界‌。正如数学家 James Maynard 所言：“它的解决不在现有路径上，而需要一场数学观的革命。”‌‌

   正如数学家塞尔伯格所言：“黎曼猜想的价值不在于答案，而在于它迫使数学界不断发明新的语言。”

   正如黎曼在《论几何基础的假设》中所写：“我们不是要理解宇宙，而是要理解我们理解宇宙的局限。”这种对认知边界的清醒认知，或许才是天才留给数学最深邃的遗产。

三、傻的猜测

   （1）欧拉乘积 Euler product 的推导：对“无穷”的定义或约定，是第一个要仔细斟酌的问题。

   （2）黎曼ζ函数的“解析延拓 analytic continuation”，是否引起了对素数性质的某种偏离？

   （3）需要一种（一些）比“复数 complex number”更有力的数学基础工具？复数只是这些“更有力的数学基础工具”里的极小的局部？

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

[2] Vladimir I Arnol'd ((Arnold). On teaching mathematics [J]. Russian Mathematical Surveys, 1998, 53(1): 229-234.  Number 1, February 1998

doi:  10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-05-16 23:42，[笔记，科普，数学] 素数（66）：黎曼ζ函数及其解析延拓

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535137.html

[2] 2026-05-15 23:16，[打听，科普，数学] 素数（65）：欧拉乘积 Euler product 的推导随想

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535032.html

[3] 2026-05-14 21:43，[打听，科普，数学] 素数（64）：哪里有欧拉乘积 Euler product 的严谨推导？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534869.html

[4] 2026-05-10 23:31，[笔记，科普，数学] 素数（60）：解析延拓 analytic continuation 与黎曼ζ函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534267.html

[5] 2026-04-30 16:59，[打听，科普，数学] 素数（50）：黎曼ζ函数，可以乘以 1/3s 吗？傻实在想不明白

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532933.html

[6] 2026-04-28 00:23，[图片，科普，数学] 素数（48）：黎曼ζ函数、log 在 Critical Line 附近的对照 Wolfram 大范围

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532455.html

[7] 2026-05-11 21:44，[笔记，科普，数学] 素数（61）：解析延拓 analytic continuation 与两个气象观测站共享数据

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534422.html

[8] 2026-05-01 16:35，[笔记，科普，数学] 素数（51）：渐近符号 asymptotic notation （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533059.html

[9] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <1027 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[10] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[11] 2025-06-19 22:48，[资料，科普，汇集] 杨振宁（Chen Ning Yang）老师谈“渗透式”学习

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1490497.html

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