为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

   第一条，这一条也是我所喜欢的，是对你所计算的过程有一个清晰的物理图像。

   One way, and this is the way I prefer, is to have a clear physical picture of the process that you are calculating.

—— 费米（Enrico Fermi）

[打听，科普，数学] 素数（69）：超现实数 surreal number，也就是实数多个？

超现实数： surreal number

实数域： real number field, field of reals

复数域： complex number field

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

平凡零点： trivial zero

非平凡零点： nontrivial zero

临界带： critical strip

欧拉乘积： Euler product

几何级数： geometric series

解析延拓： analytic continuation

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、超现实数系统（英语：Surreal Numbers）是一种连续统？

   看了又看，还没有看懂“超现实数系统（英语：Surreal Numbers）”。

   网上说：

   在数学上，超现实数系统（英语：Surreal Numbers）是一种连续统，其中含有实数以及无穷量，即无穷大（小）量，其绝对值大（小）于任何正实数。超现实数与实数有许多共同性质，包括其全序关系“≤”以及通常的算术运算（加减乘除）；也因此，它们构成了有序域^{[注 1]}。在严格的集合论意义下，超现实数是可能出现的有序域中最大的；其他的有序域，如有理数域、实数域、有理函数域、列维-奇维塔域、上超实数域和超实数域等，全都是超现实数域的子域。超现实数域也包含可达到的、在集合论里构造过的所有超限序数。

图1  出处找不到了。感谢原作者和有关人员！

二、打听：超现实数 surreal number，也就是实数多个？

   并没有像康托一样，定义“可数无穷”以上诸多的“更大”的数量（cardinal number）？

三、这样的话，“超现实数 ”怕是难以真正解决“黎曼假设 Riemann Hypothesis”？

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

[2] Vladimir I Arnol'd ((Arnold). On teaching mathematics [J]. Russian Mathematical Surveys, 1998, 53(1): 229-234.  Number 1, February 1998

doi:  10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005  

[3] 杨正瓴. 第二类计算机构想[J]. 中国电子科学研究院学报, 2011, 6(4): 368-374.

   doi:  10.3969/j.issn.1673-5692.2011.04.009

   https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-KJPL201104010.htm

   https://www.cqvip.com/doc/journal/39096952?sign=e393c19a2a6472d35076b36cd477ed4251a027690555e726bf401f9af1049cf5&expireTime=1794754726615&resourceId=39096952&type=1

  https://d.wanfangdata.com.cn/periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjMwODMxEhFkemt4anNwbDIwMTEwNDAwORoIb2NqdjQ5bmM%3D

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-05-18 22:51，[打听，科普，数学] 素数（68）：实数域(real number field, field of reals) 以上，还有哪些可以微分、积分的数域？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535410.html

[2] 2026-05-17 21:06，[打听，科普，数学] 素数（67）：黎曼假设为什么长期没有得到解决？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535239.html

[3] 2026-05-16 23:42，[笔记，科普，数学] 素数（66）：黎曼ζ函数及其解析延拓

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535137.html

[4] 2026-05-15 23:16，[打听，科普，数学] 素数（65）：欧拉乘积 Euler product 的推导随想

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1535032.html

[5] 2026-05-14 21:43，[打听，科普，数学] 素数（64）：哪里有欧拉乘积 Euler product 的严谨推导？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534869.html

[6] 2026-05-10 23:31，[笔记，科普，数学] 素数（60）：解析延拓 analytic continuation 与黎曼ζ函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534267.html

[7] 2026-04-30 16:59，[打听，科普，数学] 素数（50）：黎曼ζ函数，可以乘以 1/3s 吗？傻实在想不明白

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532933.html

[8] 2026-04-28 00:23，[图片，科普，数学] 素数（48）：黎曼ζ函数、log 在 Critical Line 附近的对照 Wolfram 大范围

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532455.html

[9] 2026-05-11 21:44，[笔记，科普，数学] 素数（61）：解析延拓 analytic continuation 与两个气象观测站共享数据

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534422.html

[10] 2026-05-01 16:35，[笔记，科普，数学] 素数（51）：渐近符号 asymptotic notation （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533059.html

[11] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学] 素数（28）：素数计数函数 prime counting function <1027 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html

[12] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html

[13] 2025-06-19 22:48，[资料，科普，汇集] 杨振宁（Chen Ning Yang）老师谈“渗透式”学习

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1490497.html

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