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心中有块石头...

（接上回*）命题5.7叙述之温习。此定理的核心，从表面上看，是构造并证明不等式 μTν*L<=q。实际上是证明有界性，即上界 q 的存在性。来看

结论部分的表述：对于任何resolution，即 ν: U --> X 使得 T 是 U 上的divisor，都有 μTν*L <=q。

注1：这里的 ν 是倒着给出的映射（给定像、找原像）。X 是固定的嘛，拿它当作像，找个原像 U，使得 T 是 U 上的divisor。这里的 U 有点围着 X 转的意思：X 是给定的，U 不一定是哪个，符合约束条件的即可。也许可以这样理解：

lU:={U | ν: U --> X，T是U上的divisor}，或者 IU:={ν*(X)| T 是 U上的divisor }.

可以看到，集合lU是由 X和T共同决定的。

注2：记号μTν*L的理解（T是下标）。最早出现类似记号的定义，是在2.1 Divisors。对于R-divisor的分解 D=Sum di Di，系数di 又记作 μDiD。下标 Di 是 D 的不可约分量，即 Di 和 D 是“部分与整体”的关系。由此：

1） ν*L 处于 D 的位置。本来，ν或ν*是 U 和 X 之间的关系，L 是怎么回事？当然，一台戏里的角儿都有联系，关键是怎么联系的。

2） T 是 ν*L 的不可约分量？

总之，μTν*L 是 T 在 ν*L 中的系数。U, X, T, L 的关系如下：

U ---> X

​ |         |

 T ---> L

注3：X, L, T 是原有的，U 是外来户。从 X 出发，用“拉回式”的映射得到 U，使得 T 是 U上的 divisor。而 L 是 X 上的 divisor。这样，若认为 U 和 X 身份对等，则 T 和 L 身份也对等（分别和U、X的关系一致）。这样，T 和 L 有机会放在一起考虑。在这里，是通过映射ν*，把 L 拉回到 T 的世界，考察T在“原像” ν*L中的系数（可把ν*L看作向量，μTν*L看作T在其上的投影，也就是“坐标分量”）。

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命题5.7的内容：1个前提，5个数字，8个条件，1个resolution，1个不等式。

1个前提：定理1.6成立（维度<=d-1）。

5个数字：d,r,n,eps; q.

8个条件：拆解为：4主、4副、1附加。简记图如下：

A     L

X     B

-------

A     T

X   (n)Λ

-------

1个resolution, 1 个不等式：

U <~ ν*(X, T) ==> μTν*L<=q

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命题5.7.复述：

Let d, r, n be natural numbers and let eps be a positive number. Assume Th1.6 holds for in dimension <=d-1. Then, there exists a positive number q depending only on d, r, n, eps satisfying the following. Assume

1) (X, B) is a projective eps-lc pair of dimension d;

2) A is a very ample divisor on X with A^d<=r;

3) L>=0 is a R-divisor on X;

4) A-B and A-L are ample;

5) Λ >=0 is a Q-divisor and nΛ is integral;

6) A - Λ is ample;

7) (X, Λ) is lc near a point x (not necessarily a closed point);

8) T is a lc place of (X, Λ) with centre the closure of x, and

9) a(T, X, B) <=1.

Then, for any resolution ν: U ---> X, so that T is a divisor on U, we have μTν*L<=q.

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小结：回顾分析了命题5.7的结论部分，温习并复述了命题的内容（为便于记忆略改写，红色部分为记忆缺失）。

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附命题5.7.原文。

Proposition 5.7. Let d, r, n be natural numbers and eps a positive real number. Assume Theorem 1.6 holds in dimension ≤ d - 1. Then there is a positive number q depending only on d, r, n, eps satisfying the following. Assume

• (X, B) is a projective eps-lc pair of dimension d,

• A is a very ample divisor on X with A^d ≤ r,

• Λ ≥ 0 is a Q-divisor on X with nΛ integral,

• L ≥ 0 is an R-divisor on X,

• A - B, A - Λ, and A - L are all ample,

• (X, Λ) is lc near a point x (not necessarily closed),

• T is a lc place of (X, Λ) with centre the closure of x, and

• a(T, X, B) ≤ 1.

Then for any resolution vu: U --> X so that T is a divisor on U, we have muTvu*L≤ q.

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