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：徐令予李颖业张忆文林中祥 张云 李学宽武夷山 宁利中 蒋迅 蒲亨建 刘全慧 谢力Grothendieck 韩健 毛宏王庆浩尤明庆张操曾新林文克玲蔡宁吕洪波杨正瓴彭真明蒋继平姬扬徐耀刘钢刘全生吕喆 王鸿飞 马臻 刘进平 赵美娣 鲍永利 戴世强 周涛 刘洋 邢志忠 曾泳春郭景涛郑永军（保留若干神秘博主）

1972年...代数几何和表示论的合作开始增加，导致了自守形式理论和Langlands纲领的发展*。

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（接上回*）Lemma 3.2. Assume that Theorem 1.6 holds in dimension ≤ d and that Theorem 1.1 holds in dimension ≤ d - 1. Then Theorem 1.4 holds in dimension d.

评注：由“花费控制定理”（全维度）和主定理（欠维度）证明“小花费定理”（当前维度）。

评论：上回遇到这个“跳点”，希望能深入其证明。（此引理的证明有两大段“Pick...Since...”，占有篇幅约0.8页）。

Proof.  

Pick eps' ∈ (0, eps). Let (X, B), A = - (Kx + B) be as in Theorem 1.4 in dimension d and pick L ∈ |A|R. 

取eps' ∈ (0, eps). 令 (X, B), A = - (Kx + B) 如定理1.4，维度为d，并取 L ∈ |A|R. 

注：eps'的取法暗含了不等式 eps'<eps，留心用到。

Let s be the largest number such that (X, B + sL) is eps'-lc.

令 s 为最大值，使得(X, B + sL) 是 eps'-lc的.

疑问：s是否一定存在？why?

It is enough to show s is bounded from below away from zero. In particular, we may assume s<1.

只须证明 s 存在正的下界。特别地，不妨设 s <1.

注：s 对应于 (X, B + sL) 是 eps'-lc，而定理1.4 的结论是 sup {t| (X, B+tL) is lc for every L∈|A|R} 存在正下界。

Replacing X with a Q-factorialisation, we can assume X is Q-factorial.

用 Q-factorialisation 替换 X，不妨假设 X 是 Q-factorial. （注：A normal variety is -factorial* if every -Weil divisor is -Cartier.）

注：这个来的很突然，可能是常规手法，也可能是特创手法（简称：Q-factorial替换法）。

There is a prime divisor T over X, that is, on birational models of X, with log discrepancy

a(T, X, B + sL)= eps'.

存在X上的素除子T，即定义在 X 的双有理模型上，并具备 log discrepancy

a(T, X, B + sL)= eps'.

疑问：看不出如何推导。Q-factorial 起到什么作用？

If T is not exceptional over X, then we let phi: Y --> X be the identity morphism. But if T is exceptional over X, then we let phi Y -- > X be the extremal birational contraction which extracts T.

如果 T 不在X上 exceptional，则令 phi: Y --> X 为恒等态射。但如果 T 在 X 上 exceptional，则令 Y --> X 为极值双有理收缩，用来提取 T.

注：这个来的突然，可视为（常规/特创）手法（简称：取态射，现成的或自创的）。

Let KY + BY = Φ*(Kx + B) and let LY = Φ*L. By assumption,

μTBY <=1-eps 但 μT(BY + sLY) = 1 - eps',

hence μT s LY >= eps - eps'.

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小结：引理3.2证明之第一段读写完毕。(待续)。

* * *

研读这类大文章，识记的成分（比思考）要大得多，思考力提高甚微，暂时也谈不上受启发。这里没有你要去解决的问题，也不是从问题出发去探索答案，只是想了解/理解其中发生的事情。不管内容有多难，全都在那里了，谈不上探索/研究，顶多是探究式学习。这有点像从外墙攀爬大楼，主要是个力气活儿，“出溜下来、再爬上去”，跟遗忘做斗争。看来教科书中设置“习题”有一定的道理，可用做“思考的练习”、巩固所学内容。总之，研读文章只是个学习的过程...希望能吸收到营养、“拿到钥匙”...

：徐令予李颖业张忆文林中祥 张云李学宽武夷山 宁利中蒋迅蒲亨建 刘全慧 谢力Grothendieck 韩健 毛宏王庆浩尤明庆张操曾新林文克玲蔡宁吕洪波杨正瓴彭真明蒋继平姬扬徐耀刘钢刘全生吕喆 王鸿飞 马臻 刘进平 赵美娣 鲍永利 戴世强 周涛 刘洋 邢志忠 曾泳春郭景涛郑永军（保留若干神秘博主）