两输入两阶系统的重根时的能达丰富性

    (1) 若重根时的两输入两阶系统有两个独立特征向量，即线性离散系统 $\varSigma(A,B)$ 的各矩阵可表示为（或可变换为）

        $A_{N}=[B,AB,...,A^{N-1}B]$

        $A=\left[\begin{array}{cc} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{array}\right]\qquad B=\left[B_{1}\;B_{2}\right]=\left[\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right]$

不失一般性，可通过对输入变量进行变换，设

$b_{11},b_{22},\det\left(B\right)=b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}>0$

因此，系统 $\varSigma(A,B)$ 的 $N$ 步能达丰富性为

$V_{2}(C_{2}(A_{N}))=\left[\frac{1-\lambda^{N}}{1-\lambda}\right]^{2}\det\left(B\right)$

此时，当 $0<\lambda<1$ 时，系统 $\varSigma(A,B)$ 的无限时间能达丰富性为

$\lim_{N\rightarrow\infty}v_{r,N}=\frac{\left|\det\left(B\right)\right|}{\left(1-\lambda\right)^{2}}$

     (2) 若重根时的两输入两阶系统仅一个独立特征向量，即线性离散系 $%u7EDF\varSigma(A,B)$ 的系统矩阵可表示为（或可变换为）

$A=\left[\begin{array}{cc} \lambda & 0\\ 1 & \lambda \end{array}\right]$

系统 $\varSigma(A,B)$ 的 $N$ 步能达丰富性为

$V_{2}(C_{2}(A_{N}))=\left(\left|b_{11}\right|+\left|b_{12}\right|\right)^{2}\frac{1-N\lambda^{N-1}+N\lambda^{N+1}-\lambda^{2N}}{\left(1-\lambda\right)^{2}\left(1-\lambda^{2}\right)}$

此时，当 $0<\lambda<1$ 时，系统 $\varSigma(A,B)$ 的无限时间能达丰富性为

$\lim_{N\rightarrow\infty}v_{r,N}=\frac{\left(\left|b_{11}\right|+\left|b_{12}\right|\right)^{2}}{\left(1-\lambda\right)^{2}\left(1-\lambda^{2}\right)}$