本期主题：概率论能提供哪些数学思维层面上的新意？

上期讲到，概率论的第一特征应该是现代数学的重要分支。

在许多数学家看来，概率论无非是测度论的上层建筑罢了。的确，现代概率论是根植于测度论的。但是，我绝不同意把概率论划分到“分析学”或者“测度论”的范畴，因为这样会抹杀概率论所能提供给传统数学的新角度，新观点。

如果大家对近期的一些数学大作，比如菲尔兹奖（数学界的诺贝尔奖）获得者的一些工作有耳闻，您会发现有越来越多的数学大师利用概率论的一些观点和技术解决了传统数学中的大问题。就拿咱们国内来讲，北师大的陈木法院士就利用概率论中的耦合技巧解决了一系列的特征值估计问题。

那么说了这么多，概率论到底好在哪？这是个很难回答好的问题。

大家学过泛函分析，泛函分析是高度抽象的一门数学，很多初学者会对其中的很多概念感到不适。但是，泛函分析中的绝大多数概念，在概率论中都可以找到对应，而且正因为概率论的概念直观上更便于理解，所以学习概率论可以很好的帮助理解泛函分析的知识。粗略来讲，测度是一种泛函，而在概率论中，测度是分布，分布就是物理直观中的统计性质。这样联系，大家可以用直观的统计性质去理解抽象的泛函性质。

那可以说，概率论的好处就是“直观”吗？也许。但这其中的内容是无比丰富的。正是因为一方面概率论一直保持着跟物理世界的紧密联系，另一方面又根植于现代分析学，所以它往往能对一些传统的数学问题给予更加犀利直截的描述和解读。

大量的例证支撑了这一点。许许多多传统数学中深刻的概念，技巧和方法，理解起来晦涩难懂，但尝试用概率论的一些概念解读，就有了新的领悟。典型的例子，如现在很多学者用概率论去解偏微分方程，概率论可以用很直观的语言去表述“位势”，并给出解的形式。这个贡献是巨大的，偏微分方程的求解问题一直是传统数学的核心问题之一。

当然，更重要的是，概率论本身生来并不是为传统数学服务的，它的天职是去解读随机现象。而这块内容，我想单独讨论。

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