一直以来，偏微分方程边值关注的比较多，常微分方程边值关注的比较少，由于种种原因，最近接触了一些常微分方程边值问题的基本常识，有必要摘抄整理一下，非原创！放在这里，权当一份读书笔记！他日如果用上了，查阅起来比较方便，可能此内容不完整，以后慢慢积累吧，也欢迎大家增补一些这方面的资料。谢谢！

求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。亦即，设常微分方程(ODE)为

对区间I上的点α₁，α₂，…,α_k及值y(α_i)，y┡(α_i),…,y^(n-1)(α_i)(i=1,2,…,k,k>1)，给定了一些条件,求此方程在 I上的满足这些条件的解的问题。这些条件称为边界条件，诸α_i及y(α_i)、y┡(α_i)、…、y^(n-1)(α_i) 称为边值或边界值。当k=2，α₁、α₂是区间I的端点时,称为两点边值问题。边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的。为了适应实际问题的需求，不得不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一？这就是边值问题的基本论题。
　　在有限区间上的边值问题 　两点边值问题 　以二阶常微分方程为例。求二阶常微分方程

(1)

满足边界条件

的解。式中α、b为区间的端点,ƒ:【α,b】×R²→R是连续函数，R＝(-,)；α_s,α▂,β_s,β▂及γ_s(s=1,2)是给定的常数。特别当γ_s=0 (s=1，2)时，(2)称为齐次边界条件。(2)的特例有：

方程(1)与(2┡)、(1)与(2″)及(1)与(2冺),所构成的边值问题分别称为第一边值问题、第二边值问题和第三边值问题。
　　例如,悬链线（图1）之形状是由第一边值问题 所确定。式中ρ为悬链线密度，g为重力加速度，T 为悬链线最低点张力。又如，一端固定的细长悬梁（图 2）弯曲的倾斜角φ（s）是由第二边值问题Bφ″(s)-Pcosφ (s) = 0， φ(0)=0,φ┡（l）=0，所确定。其中B为梁的刚性系数，P为自由端的铅直负载。
　　关于边值问题解的存在和惟一性问题，对线性方程，在理论上是容易解决的。考虑第一边值问题

(3)

与(2┡)，其中p、q及r是【α,b】上的连续函数,设⑶的通解

(4)

式中y₁、y₂是(3)对应的齐次方程的基本解组；Y是(3)的特解；c₁、c₂是任意常数、为求边值问题(3)与(2┡)的解,只要将(4)代入(2┡)来确定c₁、c₂。易知,当且仅当y₁(α)y₂(b)-y₁(b)y₂(α)≠0时,才可确定惟一的一组с₁、c₂,代入(4)便得所求的解。然而,对非线性方程,上述途径是行不通的。例如，边值问题(1)与(2┡)，（1）满足y(α)=γ₁的解有无穷多个，它们依赖于 y┡(α)=δ不同的取值。但是在这些解中不一定存在满足y（b）=γ₂的解。为了保证存在这样的δ，使有解满足 y(b)=γ₂，就必须对(1)加适当的限制,即要建立解的存在条件。一个简单的存在条件是：“若ƒ为连续有界函数，则边值问题(1)与(2┡)存在解。”为保证边值问题最多有一个解，还必须建立解的惟一性条件。关于边值问题解的存在和惟一性问题的研究，在20世纪出现了大量文献，至今仍不断发表新的研究成果。并且将此问题扩展到泛函微分方程和抽象空间微分方程。研究此问题所采用的方法也是多样的。最初多用皮卡迭代法及分析方法；50年代以来发展且采用上、下解方法，瓦热维斯基拓扑方法，李亚普诺夫函数法等。拓扑度理论中不动点定理的发展，也给近代研究提供了重要工具。
　　多点边值问题 　G.桑索内等早在30年代就提出多点边值问题，但工作很少。60年代以来才被人们重视，并且出现较多的文献，其中多数是研究以下三点边值问题解的存在和惟一性问题：

　

多点边值问题的论题、结果及研究方法，多是来自两点边值问题的拓广。
　　在无穷区间上的边值问题 　在【0,)上的边值问题即求方程(1)满足边界条件

(5)

(6)　　　　　　

的解。也称极限边值问题。(1)中的ƒ:【0,)×R²→R是连续函数；α、β、γ、δ 是给定的常数。关于此类边值问题解的存在和惟一性问题的研究，开始于核物理中的托马斯-费密方程。随之，对较广泛类型的方程(1)及边界条件y(0)＝γ，y()=0的边值问题进行了探讨。在流体力学中提出边值问题(1)与y┡(α)＝γ(α>0)，y()=0。60年代以来进行了较一般性的研究，得到较深刻的结果。解决此类边值问题的一般步骤是：首先指出(1)与(5)存在有界解；然后证明此有界解满足(6)。此外,在流体力学边界层理论中还提出三阶方程的边值问题

式中α、β、λ为常数,0≤β<1,要求证明解的存在和惟一性及建立解的渐近式。这类问题，40年代以来引起了不少学者的兴趣，最近开始研究它的推广形式。在【0,)上的边值问题的研究方法类同于两点边值问题的方法。
　　在(－∞,∞)上的边值问题  即求方程(1)满足边界条件或

的解。(1)中的ƒ:R³→R是连续函数;γ+为两个给定的常数。此类边值问题出现在波动力学、火焰传布理论等。F.H.默里最先对线性方程给出解的存在惟一性的充分条件。对非线性方程，50年代以来也得到了一系列的充分条件。在空气动力学中还提出了三阶方程在(-,)上的边值问题。所采用的研究方法多是分析法。如：迭代方法和上、下解方法等。此类问题尚有待于进一步深入研究。
　　特征值问题 　一种特殊的边值问题，又称为本征值问题或固有值问题。它是含有一个参数λ 的齐次边值问题（微分方程和边界条件都是齐次的），使齐次边值问题具有非零解的数λ 称为特征值，这些非零解本身称为特征函数(或特征向量)。特征值问题在声学、光学、电磁理论、弹性力学、材料力学、流体力学和核物理等学科中，有一系列应用，是量子力学的主要支柱。
　　最典型的特征值问题是常型斯图姆-刘维尔问题(简称SL问题)

式中(α,b)是有限区间,1/p(x)，q(x),1/r(x)为实的有界连续函数。
　　对于常型问题,存在可数无穷个特征值 λ₀<λ₁<λ₂<…,对应于每一个λ_n,有一个非零解y_n(x)（特征函数）。{y_n(x)}组成(α，b)上的完备正交系。对任意函数ƒ(x)，有特征展开式

　　　　　　(10)

式中ƒ_n是ƒ(x)的广义傅里叶系数, 等于ƒ(x)与y_n(x)的乘积沿(α,b)的积分。当ƒ(x)满足边界条件,且ƒ┡(x)绝对连续时，展开式一致收敛。当ƒ(x)平方可积时，展开式平方平均收敛。
　　C.-F.斯图姆在 1836年证明了一个一般性的比较定理：若恒有g(x)<G(x),则在y″+g(x)y=0的任一解的相邻两零点间,必有z″+G(x)z=0的任一解的一个零点。由此证明SL问题的第n+1个特征函数y_n(x)在(α,b)中恰有n个零点（振动定理）。比较定理与解的振动性质的研究，近年已被推广到偏微分方程。
　　当(α,b)不是有限区间,或者1/p(x),q(x)，1/r(x)中至少有一个不是有界连续时，称(7)为奇型SL方程,此时边界条件的提法与展开式的形状要复杂一些。按照 H.外尔的理论，若对某复数λ，微分方程(7)的任何解都在b点邻域平方可积,称b属于圆款；否则称b属于点款。对前者，在b点要提线性边界条件，对于后者,只提平方可积条件就够了。若α点为奇点,也有同样的分类。当区间仅有一端（例如b）为奇点，特征展开式为

　 (11)

式中

　　 　(12)

φ(x,λ)为满足α处边界条件的解；ρ(λ)为不减函数, 称为谱函数。当ρ(λ)为纯阶梯函数时，展开式成为前述的级数形式(10)，当ρ(λ)没有跳点，展开式成为广义傅里叶积分。对于区间两端都为奇点的情形，展开式为

(13)

(14)

式中【ρ_ij(λ)】称为谱矩阵；φ₁，φ₂则是方程的线性无关解组。
　　奇异情形的上述展开式(14)，概括了古典数学物理中一系列重要公式,如傅里叶积分，傅里叶-贝塞尔展开式，汉克尔展开式，等等。由于实际应用的需要，展开式的各种具体形式与成立条件，一直在被发掘之中。
　　SL问题的研究已沿着不同方向推广。在非自共轭情形，特征函数系已不是正交系，而与共轭问题的特征函数系组成双正交系。对于高阶奇型微分方程，边界条件的提法依赖于端点邻域内线性无关平方可积解的个数。即亏指数。亏指数的可能取值与具体实现问题，近年来受到重视。由于应用上的需要，对各种具体的非线性特征值问题的研究，一直在进行，但到60年代后期，P.H.拉宾诺维茨运用非线性泛函分析的工具，才发展出一种系统的方法。此外，以多介质为实际背景的多点边值问题与特征值问题的研究，也不断出现。
　　特征值反问题属于另一种格局。在奇异情形有谱函数反问题与散射反问题，这里要求从各种谱数据或散射数据出发，求微分方程的系数，自50年代И.M.盖尔范德和Б.М.列维坦等人的开创工作以来,近年来又有一系列的研究。
　　1967年，C.S.伽德纳、J.M.格林、M.D.克鲁斯卡尔和R.M.缪雷等四人发现,当薛定谔方程的位势系数按KdV方程（浅水波方程）演化时，特征值保持不变，其他散射量以非常简单的规律演化。以此为突破点，利用特征值反问题的成果，发展出一种所谓散射反演方法，简称IST(Inverse Scattering Transformation)方法，精确地求出一批非线性偏微分方程的孤立子解。这些方程包括在近代技术中有广泛应用的KdV方程,非线性薛定谔方程，正弦-戈登方程，布森内斯克方程,等等，成为数学物理中引人注目的进展之一。

 

 

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