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ODE边值问题(ODEBVP)

已有 9979 次阅读 2010-4-24 10:53 |个人分类:非线性科学论文集|系统分类:科研笔记| 边值问题

       一直以来,偏微分方程边值关注的比较多,常微分方程边值关注的比较少,由于种种原因,最近接触了一些常微分方程边值问题的基本常识,有必要摘抄整理一下,非原创!放在这里,权当一份读书笔记!他日如果用上了,查阅起来比较方便,可能此内容不完整,以后慢慢积累吧,也欢迎大家增补一些这方面的资料。谢谢!

求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。亦即,设常微分方程(ODE)为

常微分方程边值问题

对区间I上的点α1,α2,…,αk及值yi),y┡(αi),…,y(n-1)i)(i=1,2,…,k,k>1),给定了一些条件,求此方程在 I上的满足这些条件的解的问题。这些条件称为边界条件,诸αiyi)、y┡(αi)、…、y(n-1)i) 称为边值或边界值。当k=2,α1、α2是区间I的端点时,称为两点边值问题。边值问题的提出和发展,与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关;并且在现代控制理论等学科中有重要应用。因为常微分方程可以解析求解的类型甚少,所以求边值问题的解也是困难的。为了适应实际问题的需求,不得不采用近似解法,这样,首先需要回答:边值问题的解是否存在?是否惟一?这就是边值问题的基本论题。
  在有限区间上的边值问题  两点边值问题  以二阶常微分方程为例。求二阶常微分方程

常微分方程边值问题 (1)

满足边界条件

常微分方程边值问题

的解。式中α、b为区间的端点,ƒ:【α,b】×R2R是连续函数,R=(-常微分方程边值问题,常微分方程边值问题);αs,βs,β及γs(s=1,2)是给定的常数。特别当γs=0 (s=1,2)时,(2)称为齐次边界条件。(2)的特例有:

常微分方程边值问题

方程(1)与(2┡)、(1)与(2″)及(1)与(2冺),所构成的边值问题分别称为第一边值问题、第二边值问题和第三边值问题。
  例如,悬链线(图1常微分方程边值问题)之形状是由第一边值问题 常微分方程边值问题所确定。式中ρ为悬链线密度,g为重力加速度,T 为悬链线最低点张力。又如,一端固定的细长悬梁(图 2常微分方程边值问题)弯曲的倾斜角φs)是由第二边值问题Bφ″(s)-Pcosφ (s) = 0, φ(0)=0,φ┡(l)=0,所确定。其中B为梁的刚性系数,P为自由端的铅直负载。
  关于边值问题解的存在和惟一性问题,对线性方程,在理论上是容易解决的。考虑第一边值问题

常微分方程边值问题 (3)

与(2┡),其中pqr是【α,b】上的连续函数,设⑶的通解

常微分方程边值问题 (4)

式中y1y2是(3)对应的齐次方程的基本解组;Y是(3)的特解;c1、c2是任意常数、为求边值问题(3)与(2┡)的解,只要将(4)代入(2┡)来确定c1、c2。易知,当且仅当y1(α)y2(b)-y1(b)y2(α)≠0时,才可确定惟一的一组с1、c2,代入(4)便得所求的解。然而,对非线性方程,上述途径是行不通的。例如,边值问题(1)与(2┡),(1)满足y(α)=γ1的解有无穷多个,它们依赖于 y┡(α)=δ不同的取值。但是在这些解中不一定存在满足yb)=γ2的解。为了保证存在这样的δ,使有解满足 y(b)=γ2,就必须对(1)加适当的限制,即要建立解的存在条件。一个简单的存在条件是:“若ƒ为连续有界函数,则边值问题(1)与(2┡)存在解。”为保证边值问题最多有一个解,还必须建立解的惟一性条件。关于边值问题解的存在和惟一性问题的研究,在20世纪出现了大量文献,至今仍不断发表新的研究成果。并且将此问题扩展到泛函微分方程抽象空间微分方程。研究此问题所采用的方法也是多样的。最初多用皮卡迭代法及分析方法;50年代以来发展且采用上、下解方法,瓦热维斯基拓扑方法,李亚普诺夫函数法等。拓扑度理论中不动点定理的发展,也给近代研究提供了重要工具。
  多点边值问题  G.桑索内等早在30年代就提出多点边值问题,但工作很少。60年代以来才被人们重视,并且出现较多的文献,其中多数是研究以下三点边值问题解的存在和惟一性问题:

常微分方程边值问题

 

常微分方程边值问题

多点边值问题的论题、结果及研究方法,多是来自两点边值问题的拓广。
  在无穷区间上的边值问题  在【0,常微分方程边值问题)上的边值问题即求方程(1)满足边界条件

常微分方程边值问题 (5)

常微分方程边值问题 (6)      

的解。也称极限边值问题。(1)中的ƒ:【0,常微分方程边值问题R2R是连续函数;α、β、γ、δ 是给定的常数。关于此类边值问题解的存在和惟一性问题的研究,开始于核物理中的托马斯-费密方程。随之,对较广泛类型的方程(1)及边界条件y(0)=γ,y(常微分方程边值问题)=0的边值问题进行了探讨。在流体力学中提出边值问题(1)与y┡(α)=γ(α>0),y(常微分方程边值问题)=0。60年代以来进行了较一般性的研究,得到较深刻的结果。解决此类边值问题的一般步骤是:首先指出(1)与(5)存在有界解;然后证明此有界解满足(6)。此外,在流体力学边界层理论中还提出三阶方程的边值问题

常微分方程边值问题

式中α、β、λ为常数,0≤β<1,要求证明解的存在和惟一性及建立解的渐近式。这类问题,40年代以来引起了不少学者的兴趣,最近开始研究它的推广形式。在【0,常微分方程边值问题)上的边值问题的研究方法类同于两点边值问题的方法。
  在(-∞,∞)上的边值问题  即求方程(1)满足边界条件或

常微分方程边值问题

的解。(1)中的ƒ:R3R是连续函数;γ+为两个给定的常数。此类边值问题出现在波动力学、火焰传布理论等。F.H.默里最先对线性方程给出解的存在惟一性的充分条件。对非线性方程,50年代以来也得到了一系列的充分条件。在空气动力学中还提出了三阶方程在(-常微分方程边值问题,常微分方程边值问题)上的边值问题。所采用的研究方法多是分析法。如:迭代方法和上、下解方法等。此类问题尚有待于进一步深入研究。
  特征值问题  一种特殊的边值问题,又称为本征值问题或固有值问题。它是含有一个参数λ 的齐次边值问题(微分方程和边界条件都是齐次的),使齐次边值问题具有非零解的数λ 称为特征值,这些非零解本身称为特征函数(或特征向量)。特征值问题在声学、光学、电磁理论、弹性力学、材料力学、流体力学和核物理等学科中,有一系列应用,是量子力学的主要支柱。
  最典型的特征值问题是常型斯图姆-刘维尔问题(简称SL问题)

常微分方程边值问题

式中(α,b)是有限区间,1/p(x),q(x),1/r(x)为实的有界连续函数。
  对于常型问题,存在可数无穷个特征值 λ012<…,对应于每一个λn,有一个非零解yn(x)(特征函数)。{yn(x)}组成(α,b)上的完备正交系。对任意函数ƒ(x),有特征展开式

常微分方程边值问题      (10)

式中ƒn是ƒ(x)的广义傅里叶系数, 等于ƒ(x)与yn(x)的乘积沿(α,b)的积分。当ƒ(x)满足边界条件,且ƒ┡(x)绝对连续时,展开式一致收敛。当ƒ(x)平方可积时,展开式平方平均收敛。
  C.-F.斯图姆在 1836年证明了一个一般性的比较定理:若恒有g(x)<G(x),则在y″+g(x)y=0的任一解的相邻两零点间,必有z″+G(x)z=0的任一解的一个零点。由此证明SL问题的第n+1个特征函数yn(x)在(α,b)中恰有n个零点(振动定理)。比较定理与解的振动性质的研究,近年已被推广到偏微分方程。
  当(α,b)不是有限区间,或者1/p(x),q(x),1/r(x)中至少有一个不是有界连续时,称(7)为奇型SL方程,此时边界条件的提法与展开式的形状要复杂一些。按照 H.外尔的理论,若对某复数λ,微分方程(7)的任何解都在b点邻域平方可积,称b属于圆款;否则称b属于点款。对前者,在b点要提线性边界条件,对于后者,只提平方可积条件就够了。若α点为奇点,也有同样的分类。当区间仅有一端(例如b)为奇点,特征展开式为

常微分方程边值问题  (11)

式中

常微分方程边值问题    (12)

φ(x,λ)为满足α处边界条件的解;ρ(λ)为不减函数, 称为谱函数。当ρ(λ)为纯阶梯函数时,展开式成为前述的级数形式(10),当ρ(λ)没有跳点,展开式成为广义傅里叶积分。对于区间两端都为奇点的情形,展开式为

常微分方程边值问题 (13)

常微分方程边值问题 (14)

式中【ρij(λ)】称为谱矩阵;φ1φ2则是方程的线性无关解组。
  奇异情形的上述展开式(14),概括了古典数学物理中一系列重要公式,如傅里叶积分,傅里叶-贝塞尔展开式,汉克尔展开式,等等。由于实际应用的需要,展开式的各种具体形式与成立条件,一直在被发掘之中。
  SL问题的研究已沿着不同方向推广。在非自共轭情形,特征函数系已不是正交系,而与共轭问题的特征函数系组成双正交系。对于高阶奇型微分方程,边界条件的提法依赖于端点邻域内线性无关平方可积解的个数。即亏指数。亏指数的可能取值与具体实现问题,近年来受到重视。由于应用上的需要,对各种具体的非线性特征值问题的研究,一直在进行,但到60年代后期,P.H.拉宾诺维茨运用非线性泛函分析的工具,才发展出一种系统的方法。此外,以多介质为实际背景的多点边值问题与特征值问题的研究,也不断出现。
  特征值反问题属于另一种格局。在奇异情形有谱函数反问题与散射反问题,这里要求从各种谱数据或散射数据出发,求微分方程的系数,自50年代И.M.盖尔范德和Б.М.列维坦等人的开创工作以来,近年来又有一系列的研究。
  1967年,C.S.伽德纳、J.M.格林、M.D.克鲁斯卡尔和R.M.缪雷等四人发现,当薛定谔方程的位势系数按KdV方程(浅水波方程)演化时,特征值保持不变,其他散射量以非常简单的规律演化。以此为突破点,利用特征值反问题的成果,发展出一种所谓散射反演方法,简称IST(Inverse Scattering Transformation)方法,精确地求出一批非线性偏微分方程的孤立子解。这些方程包括在近代技术中有广泛应用的KdV方程,非线性薛定谔方程,正弦-戈登方程,布森内斯克方程,等等,成为数学物理中引人注目的进展之一。

 

 



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