为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

   用清晰的思想代替盲目的计算。

   Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[笔记，科普，数学] 素数（132）：黎曼 1859 论文阅读笔记（11）

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

   因而，众所周知的近似公式 F(x)=Li(x) 仅在一个阶为 x^1/2 的数量范围内是正确的，而且给出的值稍大了一些。在 F(x) 的表达式中，排除掉那些随 x 的增长而保持有界的项之后，非周期项为

   实际上，Gauss 和 Goldschmidt 做过小于 x 的素数个数与 Li(x) 之间的比较，一直做到 x = 3 000 000。这个比较显示，在头一个十万之后，素数的个数就已经小于 Li(x)。而且两者之差在经过多次震荡之后，随着 x 的增长而逐渐地增长，素数个数的密度因周期项而增减的事实已经在计算中被观察到，但还未注意到它是否遵从某种规律。如果将来再做计算的话，继续探究表达式中个别周期项对于素数密度的影响会是有趣的，函数 f(x) 可能有比 F(x) 更规律的性态，而在头一个一百之内，它确实在平均意义下与 Li(x)+logξ(0) 相当吻合。^[12]

注  释

   在 Riemann 的遗稿中发现了一封信的手稿，信中对于本文发表的结果做了以下的说明。

   “关于我尚未完全给出的证明，我想附上一个说明，即利用函数 ξ 的一个新的展开式，我们可以得到仅在那里陈述的两个结果：

   •方程 ξ(α)=0 在 0 和 T 之间的实根个数约为  ；

   •当级数  的各项按照 α 的模的升序排列时，它收敛于一个极限，且这个极限与积分

   在 b 趋于无穷大时的极限相等。

但是，对于这个展开式我还没有充分地简化，以致不能公布出来。”

参考资料：

[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.

doi:  10.1360/N972017-00022

https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022

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[1] 2026-07-21 00:25，[笔记，科普，数学] 素数（131）：黎曼 1859 论文阅读笔记（10）

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[2] 2026-07-20 23:21，[笔记，科普，数学] 素数（130）：黎曼 1859 论文阅读笔记（9）

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[3] 2026-07-19 00:14，[笔记，科普，数学] 素数（129）：黎曼 1859 论文阅读笔记（8）

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[4] 2026-07-18 23:05，[笔记，科普，数学] 素数（128）：黎曼 1859 论文阅读笔记（7）

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[5] 2026-07-17 00:30，[笔记，科普，数学] 素数（127）：黎曼 1859 论文阅读笔记（6）

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[6] 2026-07-16 23:29，[笔记，科普，数学] 素数（126）：黎曼 1859 论文阅读笔记（5）

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[7] 2026-07-15 00:35，[笔记，科普，数学] 素数（125）：黎曼 1859 论文阅读笔记（4）

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[8] 2026-07-14 23:01，[笔记，科普，数学] 素数（124）：黎曼 1859 论文阅读笔记（3）

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[9] 2026-07-13 23:04，[笔记，科普，数学] 素数（123）：黎曼 1859 论文阅读笔记（2）

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[10] 2026-07-12 23:11，[笔记，科普，数学] 素数（122）：黎曼 1859 论文阅读笔记（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543333.html

[11] 2026-07-11 23:11，[打听，科普，数学] 素数（121）：黎曼 1859 德文论文科学院出版版第 679 页里 μ 的含义‌

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1543221.html

[12] 2026-07-07 22:03，[打听，科普，数学] 素数（117）：是否存在“非欧拉乘积”的含所有素数的因式分解公式？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542655.html

[13] 2026-05-14 21:43，[打听，科普，数学] 素数（64）：哪里有欧拉乘积 Euler product 的严谨推导？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1534869.html

[14] 2026-07-01 15:44，[图片，科普，数学] 素数（111）：黎曼 1859年论文，柏林科学院正式刊出版（1860）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1541778.html

[15] 2026-07-05 22:56，[留念，科普，数学] 素数（115）：千问的评论：关于默比乌斯函数 Möbius function 与素数之间的关系

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[16] 2026-07-02 20:52，[打听，科普，数学] 素数（112）：从黎曼 J(x) 计算出 π(x)，有哪几种具体的方法？特别是不用 Möbius 函数的具体方法

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[17] 2026-06-28 00:41，[打听，科普，数学] 素数（108）：从黎曼 ζ 函数只能推导出 J(x) ？不能直接推导出 π(x) ？（实在看不懂）

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[18] 2026-06-25 23:31，[打听，科普，数学] 素数（105）：J(x) 与 π(x) 之间的关系（实在看不懂）

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[19] 2026-06-22 21:42，[打听，科普，数学] 素数（102）：计算 Möbius Function 之前必须先知道素数吗？

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[20] 2026-07-10 23:20，[打听，科普，数学] 素数（120）：素数计数函数 π(x)， 1948年 Selberg、Erdős 的公式

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[21] 2026-07-09 22:24，[打听，科普，数学] 素数（119）：π(x)>Li(x), Skewes's number 斯奎斯数

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[22] 2026-07-08 23:07，[打听，科普，数学] 素数（118）：π(x)-Li(x), 1914年 Littlewood 到底证明了什么？原文哪里有？

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[23] 2026-07-03 23:40，素数全部博文网址（2026-06）六月份（30篇）

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[24] 2026-06-03 19:28，素数全部博文网址（2026-05）五月份（31篇）

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[25] 2026-06-03 19:22，素数全部博文网址（2026-04）四月份（30篇）

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[27] 2024-11-25 22:49，[留念，树犹如此，独怆然而涕下] 新一页：2024-11-25。Zenas 定理、公理、论题

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