范德波尔方程是单自由度线性振动系统附加非线性阻尼项动力学方程，是最基本的自激振动方程，为典型的振动方程之一，又称为范德波尔振子或范德波尔系统。

通常认为该方程是荷兰物理学家B. 范德波尔在1926年发表的论文《论张弛振荡》中为描述三极管振动而建立，因此得名。事实上，与现在所称的范德波尔方程略有差别但本质相同的形式，是由A. 布隆代尔在1919年研究三极管自由振荡时所建立；范德波尔在1920年的论文中已经建立了范德波尔方程。这是科学史中的“马泰效应”一例，把重要的科学发现集中归功于个别科学家的个别文献。

范德波尔方程可写作

其中x是系统广义坐标，w₀为忽略阻尼项时系统的固有频率，e为线性负阻尼项系数，d为非线性阻尼项与线性阻尼项系数比。从范德波尔方程，可以看出系统阻尼与运动相关。在微幅运动时，x很小，系统速度项系数为负，阻尼效应为负，外界输入系统能量，运动幅值增大；在大幅运动时，x很大，系统速度项系数为正，阻尼项耗散系统能量，运动幅值减小。具有与范德波尔方程相同性质的还有瑞利方程

两者只是非线性阻尼项形式不同。事实上，将瑞利方程对时间求导，并以广义速度为新的广义坐标，就导出了范德波尔方程。许多实际中的自激振动系统都可以用范德波尔方程描述，例如三极管电路振荡、管道流体喘振、输电线舞动等。

范德波尔方程在非线性振动理论发展中起过重要作用。范德波尔对该方程的研究中发现振荡存在快慢两种变量，而提出了平均法。范德波尔还发现了范德波尔方程的受迫振动(方程右端有简谐激励项)存在分频响应。英国数学家M. 卡特莱特和J. E. 李特尔伍德证明了受迫范德波尔方程存在复杂的非周期解。这个工作激发了后来S. 斯梅尔构造马蹄映射。

扩展阅读

A. Blondel. Amplitude du courant oscillant produit par les audions générateurs. Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences, 1919, 169: 943-948

B. van der Pol. On relaxation oscillation. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science (VII), 1926, 2: 978-992.

《中国大百科全书(第3版网络版)》“范德波尔方程”

力学百科条目：小引

非线性动力学(特长条)

混沌(长条)

初值敏感性 (短条)

自激振动(中条)