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初值敏感性 (短条)

已有 2692 次阅读 2023-2-6 22:51 |个人分类:科研科普|系统分类:科普集锦

初始值的微小差别经过一定时间后可导致系统动力学行为的显著差别。用形式化的语言描述:记动力学系统从初始值x出发的相流为φ (x, t)。若对适当的任意正数δ,都存在x邻域中某个点y和时刻t1,使得从y出发的相流φ (y, t) 与原来的相流φ(x, t)之间的距离在时刻t1满足φ (x, t1)-φ (y, t1) δ,则称动力系统具有初值敏感性。

  

在前述初值敏感性的定义中,需要说明下列两点。其一,初值敏感性只要求在初始点任意小邻域内存在另外的点,使得从两点出发的相流距离足够大,但并不要求该邻域内所有点都如此;其二,初值敏感性只要求在某个时刻的相流距离足够大,但并不要求对该时刻后的所有时间都是如此。

 

还需要说明,初值敏感性与解的唯一性和对初值的连续性都不矛盾。具有初值敏感性的系统,只要满足唯一性定理条件时,仍具有解的唯一性;对初值连续性也是如此。

 

初值敏感性伴随着长期的不可预测性。实验和仿真中的物理量都只有有限精度。随着时间的流逝,初始条件中的测量误差或舍入误差起着愈来愈大的作用。如果在一段时间以后,决定运动的已不是初始条件中以有限精度给定的部分,而是在精度范围之外无法确定而又必然存在的误差,那么运动的预测便成为不可能了。可以认为,对于具有初值敏感性的系统,初始条件的误差在运动过程中不断地放大,这样就会在确定性系统中导致偶然性。正如庞加莱在《科学与方法》中所述,“初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别;前者的微小误差促成了后者的巨大误差。预言变得不可能了,我们有的是偶然发生的现象。”

 

混沌系统具有初值敏感性,但仅有初值敏感性未必是混沌。例如,发散的无界系统可能具有初值敏感性,具有多个平衡点或周期运动的系统也可能具有初值敏感性。

 

 

《中国大百科全书(3版网络版)》“初值敏感性

 

 

力学百科条目:小引

 

非线性动力学(特长条)

 

混沌(长条)




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