Zmn-1186 薛问天: 要认清，任何自然数都是有穷数，但所有的有穷数却有无穷多个。评一阳生《1185》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1185》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

要认清，任何自然数都是有穷数，但所有的

有穷数却有无穷多个。评一阳生《1185》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一、【后继数】与【后继运算】。

1，在由皮亚诺公理建立的自然数的理论中，【后继运算】是原始概念。它的含义必须由公理来界定。

皮亚诺公理的第二条公理中所说的：‌【每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，‌即a'也是自然数。‌】给定了一个运算，这个运算我们称其为【后继运算】。根据数学的基本知识我们知道，这说明【后继运算】是自然数集合中的一个确定的一元函数。是映射。这个一元函数有一个自变量a，一个因变量a′。把a称为数a′的【前趋数】，把a′称为数a的【后继数】。这就是【后继运算】同【后继数】在概念上的相同和区别之处。【后继运算】指的是这个【运算】，【后继数】指的是这个【后继运算】中因变量a′这个【数】。相同之处是它们涉及的是同一个运算，不同之处在于一个说的是运算，一个说的是运算得到的数。这在数学上是非常明确的事，没有必要在此纠缠不清。

2，自然数的集合论定义中，③断定任何自然数可由①和②推出。这样的定义规则在逻辑上使用【有穷次】，就推出命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，所以说这里的【有穷次】就是逻辑上的【有穷次】。

这样的定义规则使用有穷次，推出任何自然数都是这样得到的有穷后继数。任何自然数都是有穷数，但一阳生却不了解全部这样得到的有穷自然数有无穷多个。这样可得出全部自然数。所有的有穷合起来是无穷。这就是一阳生要特别想清楚的原则基础问题。

3，无穷序数ω对应于无穷个序数的集合ω={0,1,2,3,…}，也可以说是无穷个次数的集合{0次,1次,2次,3次,…}，这不仅是客观存在，而且是理论上在序数理论中也确实存在。第一个无穷序数ω等于所有有穷序数的集合。而且所有以ω为序型的良序集合{a0,a1,a2,...}中的每个元素an，都可称为【第n个元素】。但要注意虽然这个集合是无穷集，但每个n都是有穷自然数，这个集合中並没有【第无穷个元素】。

关键是这个集合中没有【最后一个元素】。一阳生说【该有序集合中的最后一个元素是无穷次数】，这是一阳生错误认识的主要原因。当他认识到这个无穷有序集合没有【最后一个元素】后，应该就想通了。

一阳生所举的所有有穷序集的集合的例子A=｛{0次}、{0次,1次}、{0次,1次,2次}、…}，其中A的元素全是有穷的有序集合。它们的序型全是有穷序数。那么无穷有序集合B={0次,1次,2次,3次,…}，并不是A的最后一个元素，A也并没有最后一个元素。B是A的并集合。一阳生的逻辑不严格就表现在这里。你怎么由【双元素集合公理存在集合并】推出了这个无穷的有序集一定有【最后一个元素】。要知道这才是你一阴生应当【不要一而再的回避，要勇于回答问题。】

4，在自然数的生成过程中，任何自然数都是由0经有穷次后继运算得到的，但是並不存在有这么一次后继运算的使用，当它扏行了以后，就遍历了所有使用的后继运算，生成了所有自然数。

这句话当然有这样的意思。等于是说每个后继运算的使用，当它们执行时，都只是在遍历部分后继运算的使用，所生成的只是部分自然数。即在自然数生成的无穷过程中，尽管有无穷多步，但不存在最后一步，不存在最后一次后继运算的使用，它生成最后一个自然数。

要知道这才是正确的认识，一点错误都没有。让每个自然数都对应一次(或一个)后继运算。从而生成无穷个自然数，需要使用基数意义上无穷次后继运算(或无穷个后继运算)。但在使用的这无穷个后继运算的集合中，並无【第无穷个后继运算】。

每个后继运算当他们执行时，都只能遍历部分的后继运算和部分的自然数。请仔细想一想，在无穷过程扏行中，在未完成时，当然部分之外还有当时未被执行到或遍历到的后继运算，但是当整个无穷过程完全执行完后，就全部遍历了需要扏行的所有后继运算。只不过在所遍历的无穷个后继运算中，並无【第无穷个后继运算】而已。一阳生的错误在的于认为这个无穷集合中一定有一个元素称为是【第无穷个后继运算】，这个认识是错误的，不存在这个元素。

这同【后继数】的概念无关。道理是一样的。所有的【后继数】共有无穷多个，但是任何自然数都是【第有穷个后继数】，并无【第无穷个后继数】。

二，小球的运动。

首先认识到数学上有关开区间的知识。半开区间[0,1)，是说存在着属于半开区间中所有点的集合。一阳生先生表示他承认半开区间[0,1)内所有点所构成的集合的存在。尽管这个集合中的所有点都是小于1的点，与1点之间都是有距离的。但半开区间包括所有小于1的全部的点，没有剩余。承认了这个数学知识就好办了。什么是数学，数学是客观世界中数量关系的抽象。

承认了数学上的半开区间，就应承认时间上的半开区间。我们用[0,1)可以定义时间区间上由0秒到1秒的半开区间。也就是说，时间区间上的半开区间[0,1)，表示从0秒到1秒间的所有时间点的集合，但不包含1秒这个点。要承认存在这个时间半开区间中所有时间点的集合。

承认了数学上的半开区间，就应承认空间上的半开区间。我们用[0,1)可以定义空间区间上由坐标是0米到1米的半开区间。也就是说，空间区间上的半开区间[0,1)，表示坐标从0米到1米间的所有空间点的集合，但不包含1米这个坐标点。要承认存在这个空间半开区间中所有空间点的集合。

有了这些基本概念。我们就可讨论小球的运动。小球在空间上由坐标0米点向坐标1米点作匀速运动。速度为每秒1米，即v=1米/秒。由物理学的匀速运动理论得知，对任何a∈[0,1]，小球在时间点t=a点时，经过空间点s=a这个点。而且在数值上都等于a，t=s=a。

我们提出问题，问【小球在经过时间半开区间[0,1)中所有点时，所经过的空间坐标点的集合是什么？】

当然正确的回答就是空间半开区间[0,1)中所有点的集合。也就是我所说的〖小球经历的所有点，这些点与1点之间都有大于0的距离。但小球运动却可以遍历半开区间中所有的点，没有遍历不到的点。〗

显然，一阳生先生认为【小球在达到1点之前即距离不为0之前，遍历不了区间[0,1)中的所有点。】是没有道理的。

显然一阳生所说的【把小球放在[0,1)中，从0点开始向1点运动，小球把区间分成前后两部分，后面的部分是已经遍历过的，前面的部分即小球与1点之间的部分，是小球没有遍历的。】

这说的是小球正在运动之中的情况，当时间经过了整个半开区间[0,1)中所有的时间点之后，小球就遍历了空间的半开区间中所有的点。也就是说【没有达到1点，但遍历了区间[0,1)中的所有点】。一阳生问【小球处在哪个位置？】回答当然是非常明确的。在时间经过半开区间[0,1)中的所有的时间点时，小球遍历了空间坐标的半开区间[0,1)中相应的所有的点。在时间半开区间不包括1这个端点时，同样在空间半开区间中也不包括1这个端点。有不包括1这个端点的半开区间的存在，说明数学的精确性很高。

三、关于极限定义。

1、应该这么说，在数学中没有【趋向于】这个数学概念。只有【x趋向于x0时f(x)的极限是a】这个概念。没有【趋向于】这个数学概念，理由很简单。没有定义的概念不是数学概念。没有公理界定的概念也不是原始数学概念。我己讲过多次，由极限的定义A∧B，只能解释清楚【x趋向于x0时f(x)的极限是a】的含义。是分不开的，解释不了分开来什么是【x趋向于x0】什么是【f(x)的极限是a】，分别的含义。同样也解释不了什么是【趋向于】单独概念的确切含义。因而说它不是数学概念，不单独用【趋向于】，也不只用【x趋向于x0】，必须完整地使用【x趋向于x0时f(x)的极限是a】这个慨念。

一阳生让我评价他的观点。我只能给出如下评价。一阳生先生认为【趋向于】概念是原始概念，认为【x趋向于x0】是点x向x0的运动，这个观点是主观的错误的。【趋向于】和【x趋向于x0】都不是数学概念。只有【x趋向于x0时f(x)的极限是a】才是完整的数学概念。即【极限】概念。

2，极限概念【当x趋向于x0时，f(x)的极限是A】的含义必须由极限的定义(即A∧B)来确定。这並不是我薛某自己给出的极限定义。任何教科书中都是这样给出的。甚至这A∧B就是一阳生本人所写。

3，关键是一阳生对存在量词的作用还未认清。

如A=【存在b，P(b)成立】，和B=【具体指出某k，使b=k，P(b)成立】这两者是不同的。一般来说B→A肯定是对任何P都成立。因为对b=k时P(b)成立，当然存在b使P(b)成立。但有可能对有些P，A→B不一定成立。即此时A成立。但B不成立。例如当，P(b)是b>k，显然存在有b>k，如b=k+1>k，因而A成立。但b=k时b>k並不成立，即B不成立。即A→B不成立。

因而在极限的定义A∧B中的A=【存在一个b>0，使得函数f(x)在x0点的去心邻域(x0-b,x0+b)内有定义】时可以严格推出定义是A∧B⇔Ψ，即不仅A∧B→Ψ成立，而且Ψ→A∧B，也成立。

当然对于存在量词(⺕b)P(b)，变量b作些更换是允许的，换后等价(⺕b)P(b)=(⺕b´)P(b´)，要注意这里的变量b和b′都是独立的约束变量，相互之间不能有一阳生说的相互关系【b>b′】。

同时注意，对不用存在量词的命题，参数作一变换，(b=k)P(b)，同(b=k´)P(b)，换后並不相等。这同有存在量词后情况是绝然不同的。

一阳生先生说【两个命题都是存在性命题，没有任何的不同。对于b或b´或b´´完全都可以取具体值和非具体值，而且可以同时取不同的值。】这是不对的。

一阳生问【A∧B→Ψ中的A中的符号b， 与Ψ→(A∧B）中的A中的b，就算让符号都写相同的b，就能保证两个各自的存在性的b的真实取值一定是相同的吗？】

这就是一阳生对存在量词(彐b)P(b)还不甚了解。要知命题(彐b)P(b)的真假只同【存在b】还是【不存在b】有关，根本同存在的b的数值毫无关系。我们的A=【存在有b>0，...】，只要有大于0的b存在使后面的谓词成立，不论b的值等于多少。只要存在，命题就为真。不存在命题就为假。命题的真假同存在的b是否相同一点关系都没有。

要知道这并没有【犯了违反同一律的大错误】，命题真假的【同一律】在于判定【存在】和【不存在】是否同一，并不是具体的要判定这个b值是否相等。这是一阳生在乱用逻辑的同一律。犯了乱用逻辑同一律的错误。

也就是说在极限定义中，不能使【其中A中的b的取值具有普适性可具体可非具体】，必须使用存存量词，是【存在b>0，...】不能具体给出具体的b值。只有这样才能保证A∧B⇔Ψ，即不仅A∧B→Ψ成立，而且Ψ→A∧B，也成立。这才是定义应有的正确的逻辑结构。

另外，还要请一阳生先生注意，在用Φ来定义Ψ，Φ⇔Ψ 时，绝不能让Ψ=(C→D)。要定义C→D，必须先分开定义Φ1⇔C和Φ2⇔D。这样C→D就自然有了定义。否则你还是不清楚C是什么和D是什么。只知道【C→D】这个整体命题的含义，而分不开成C和D的蕴涵。

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