Zmn-1145 一阳生 : 回顾薛老师关于无穷忌用的观点，兼评论《Zmn-1142》。

【编者按。下面是一阳生先生的评论文章。是对薛问天先生的《Zmn-1142》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

回顾薛老师关于无穷忌用的观点，

兼评论《Zmn-1142》。

一阳生

一、回顾薛老师《Zmn-003》文章中关于无穷忌用的观点。

薛老师说：“在数学的证明中，只允许有穷步骤的逻辑推理和有穷次数的演算，而不能使用无穷步骤的逻辑推理和无定义的无穷次数的演算。…。关于逻辑推理，比较容易理解。就是说证明中逻辑推理的步骤必须是有穷的。任何一条定理的证明必须在有穷步之内证出，不允许有在无穷步才能证出的证明。这很容易理解， 无穷步的证明是无法实现的。…。关于演算的次数，在没有另外的定义下也是忌用无穷次演算的。…。例如，自然数的后继演算：+1。这个演算可以进行有穷次，自然数n对任何有穷次（m 次）的后继演算，结果都是确定的自然数（n+m）。但是不允许进行无穷多次，无穷多次的+1演算结果是什么，这在自然数中没有定义的。”

薛老师在文章中的观点很明确，除个别另有定义的除外，无穷步推理无法实现，无穷次演算的结果无定义。所以推理的步骤和演算的次数不允许使用无穷，是为无穷的忌用。

根据无穷序数的定义和自然数的定义，无穷次后继运算的结果既不是无穷序数，也不是自然数。无穷次后继运算的结果是没有定义的和不存在的。所以后继运算是忌用无穷次的。

当然个别的无穷次演算存在的原因，并不是真的能够做到无穷次演算，而是通过定义赋予无穷次运算以有意义的和确定的结果。

我们讨论无穷步的推理和无穷次的演算或运算，或者讨论无穷过程能否完成，都是从有穷步和有穷次开始的。我们要从有穷计数到无穷。对于有穷步、有穷次、有穷过程(即无穷过程的第一子过程)，用自然数计数操作步骤即可，关键在于计数如何从有穷过渡到或跨越到无穷。因自然数本身的性质，特别是自然数n的后继数n’依然是自然数，用自然数计数只能永远局限在自然数的范围内，达不到无穷次的操作。这就是有穷步的操作永远无法跨越到无穷步的根本的内在的原因，也就是无穷忌用的根本的内在的原因！

物理世界中无穷过程的完成，是因为有时空变量作为自变量可以依赖。当达到关键的时空量时，根据前提设定无穷过程自动完成。但在数学中只有无穷对象的存在，没有无穷对象的完成过程(指元素从有穷个增长到无穷个的过程，不是指无穷对象的定义)。

薛老师接着说道：“且不可低估了人的逻辑思维和认知能力。人们可以用有穷步骤的推理来定义和把握无穷的对象，而不需要无穷次的推埋和无穷次的演算！…。况且从0经无穷次的+1运算的结果是什么，并无意义。全体自然数的集合并不是，也不包括这个毫无意义的，从0经无穷次的+1运算而得到的结果。可见全体自然数的集合的定义，概念的形成，并不需要毫无意义的无穷步的推理和无穷次的演算。”

薛老师说的全体自然数集合的形成不需要从0开始的无穷次+1运算，是对的。根据皮亚诺公理可证明全体自然数这个概念的存在，然后在这个概念的基础上定义了各种无穷对象的存在。

为了证明数学归纳法中的∀n∈N（P(n) ⇒ P(n’)）成立，只须对于任一n或某一般性的n，证明成立即可。仅此一步不须无穷步，况且也做不到无穷步。

依据选择公理的无限选取操作，这也是一步操作。在实数不可数的对角线证明中，就用了无限选取操作。而不是采取逐个的取反操作。

除了个别另有定义外，不光要在数学中忌用无穷步的推理和无穷次的演算，在物理世界中证明无穷过程的完成，同样要忌用无穷步的操作或推理。

例如在小球的运动过程中，虽然小球客观上连续丝滑的经过了无穷个点，但在主观思维中我们要在有穷步的操作中或推理中证明小球完成了无穷过程。认为小球经过无穷个点，每经过一个点就是一步操作，总共是无穷步操作，是错误的。

现在的薛老师不惜违反无穷的禁忌，大谈特谈无穷次的演算和无穷的步骤。究其原因是薛老师迷信命题【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】是对的。

二、我们的讨论应化繁为简，直指关键。

现在我再次尝试询问薛老师这个直指关键的问题：用后继运算得到某自然数后，把后继运算次数清零，重新由0开始进行持续的后继运算，把此过程称为一次演算。在一次演算中，后继运算【最多】能进行多少次？是有穷次还是无穷次？【最终】得到的是有穷自然数还是无穷序数？

请薛老师以诚恳的态度给出答复。

如果薛老师的回答是有穷次和有穷自然数。设每一次的演算中最终得到的尽可能大的有穷自然数为n。那么在1次演算中，集合{n₁ +1,n₁ +2,…}中的全部无穷个自然数没有被得到；在2次演算中，集合{n₂ +1,n₂ +2,…}中的全部无穷个自然数没有被得到；…。如此进行无穷次的演算(无穷次演算的结果是可以想象到的和是确定的)之后，没有被这无穷次的演算得到的自然数都在这无穷个集合的共同交集当中。因为这无穷个集合都是无上界的非空集，所以这个交集不是空集。这就告诉我们不管是后继运算的一次演算过程还是无穷次演算过程，都无法得到全体自然数。也就是说如果在一次演算中无法运算无穷次和无法遍历全体自然数，那么重复无穷次的演算，同样无法得到全体自然数。这个结论告诉我们，命题【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】是错误的不成立的！

三、薛老师已了解要谨慎应用数学归纳法。

薛老师说：“一阳生先生说【在应用数学归纳法之前就要对性质P(k)是否具有普适性，做事先的了解。否则贸然的应用归纳法就会得出任何性质都具有普适性的错误结论。】这是完全没有必要的。应用数学归纳法，就是对性质P(k)是否具有普适性的证明。具有普适性就可证明，不具有普适性就证明不了。”

薛老师又说：“这个题显然出错了。【薛老师一顿可以吃任意有穷碗饭】，是个错误的命题怎么能用数学归纳法来证明呢？我一顿顶多吃一小碗饭，怎么能说我【一顿可以吃任意有穷碗饭】呢？”

显然我的话薛老师完全听进去了，已经知道了关于运算、推理等有逻辑次序的行为动作，无法进行无穷次，关于他们的性质或命题是不适应数学归纳法的证明的。

请薛老师认真思考，由0开始的持续不断的后继运算，如果无法运算无穷次，无法遍历所有的自然数。命题【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】还能被数学归纳法证明吗？

四、关于【x趋向于某定值A或无穷大】的说明。

【趋向于】的字面意思是表示行为动作。根据极限定义此行为无法完成，没有终止，永远不会到达定值。如果我们尝试用自然数计数此行为，会发现x与其每次的增大或减少的程度，永远累积不到定值或无穷大，计数永远完不成。这很完美的契合潜无穷过程的特征。至于说这是不是潜无穷过程的完全的定义，目前的我难以回答。期待薛老师给出意见和建议。

实无穷过程的定义就是解释实无穷过程如何完成，我之前已给出，根据从有穷过程到无穷过程的计数方法的不同，分成两个子过程给予解释。实无穷过程及其完成都指的是物理世界中的，数学中没有。

薛老师把数学中的后继运算的一次演算过程和无穷次演算过程，当成是可以得到全体自然数的可完成的无穷过程，是完全错误的。用物理世界中的无穷过程反过来解释数学中的不存在的无穷过程，是本末倒置的。

五、我们首先应就下面的一些概念达成一致看法，然后尝试达成最终都认可的结论。

【1点】和【小球在1点】都是一个点，不包括1点之前的点。这是静态的描述。

【小球达到和经过1点】准确的说是【小球从1点之前的某个点达到和经过1点】。这是描述动作行为，是与【小球在1点】不同的。但这某个点不可能是1点之前并与1点相邻的点，也不是0.9,0.99,0.999,...这无穷个点中的最后一个点，这样的点不存在。这某个点在直线上与1点之间是有距离的，哪怕任意小。

我上面的解释是否认可？请薛老师给出答复。

小球从1点之前的某点达到和经过1点，要经过[0.9,0.99,0.999,...这无穷个点去除第一子过程中经过的点之后]剩余的无穷个点和1点。

薛老师是否认可，请给出答复。

薛老师说：“【经过无穷过程的最后无穷个点】是在小于1的时间段(1-ε,1)中完成的，不是在【经过1这个点】时完成的。”

设ε任意小。薛老师也把整个运动过程分为两个子过程，即区间(0,1-ε)和区间[1-ε,1)。薛老师说第二子过程包含[0.9,0.99,0.999,...这无穷个点去除第一子过程中经过的点后]剩余的无穷个点。

设δ任意小，且比ε还要小。设小球在区间[1-ε,1)中所处的点为1-δ。这时小球依然处在1点之前和位置小于1点。可显然的看出小球在区间[1-ε,1)中向1点运动时，无法经过区间(1-δ,1)中的点，该区间中的点有无穷个。所以小球无法在区间(1-δ,1)中经过最后无穷个点。薛老师的说法是错误的！

小球如果不达到1点，小球就不能经过1点之前的0.9,0.99,0.999,...这全部无穷个点；

小球经过0.9,0.99,0.999,...这全部无穷个点，必然达到1点。也就是说【小球达到1点】⇔【小球经过0.9,0.99,0.999,...这全部无穷个点】⇔【小球完成无穷过程】。

上面的等价关系是否成立，请薛老师给出答复。

小球从1点之前的某点达到和经过1点，只能是【一步】动作行为，无法拆解为无穷步动作行为，虽然这一步经过了0.9,0.99,0.999,...这无穷个点中剩余的无穷个点和1点。在这一步中我们无限选取【经过[第一子过程中剩余的全部无穷个点中的]每个点】，都或共同的与【达到1点】做了等价对应。

薛老师如不认可，可拆解这一步动作行为，但要解释如何从有穷个动作行为跨越到无穷个动作行为，这中间的计数过程是怎样的？

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