Zmn-0995 薛问天 : 一种先暂不学极限来学习微积分的好方法。

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一种先暂不学极限来学习微积分的好方法。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

要注意，我们这里说【不用极限的微积分】，只是一种形象夸大引人注意的说法。微积分是不可能不用极限的。只是我们在找一种方法，在学习教学微积分时，先暂不学极限，等学到一定程序需要更严格深入理解时再来学习极限。是一种缓学极限，使微积分的教学更加容易实施的方法。

我在这里提供一种方案，我认为是比较好的，容易实施的方法。那就是先不用极限，先引入连续函数的方法。

大家都知道严格地讲，连续函数是要用极限来定义的。我们称一个函数在某点连续当且仅当在此点的极限值等于函数值。但是我们可以在开始学习时不这样严格定义。而是这么说，我们说，称一个函数是连续的当且仅当自变量的值连贯时函数值也连贯，没有断点。而且举例说所有的初等函数如代数函数，三角函数等都是连续函数。对于一般人来讲，都可以正确接受，而没有难点。很好，如果大家在不用极限就能接受连续函数这个概念时，后面就好办了，就可以不用极限来学习微积分了。例如可以这样来定义导数。

设有一函数f(x)，考虑增量比

Δy/Δx=(f(x+Δx)-f(x))/Δx，由于Δx在分母中，显然这个增量比在Δx=0点沒有定义，不是Δx的连续函数。

如果存在Δx=0点有定义的连续函数g(Δx)，使得对于所有Δx≠0时此连续函数g(Δx)等于增量比，即Δy/Δx=g(Δx)成立，则称f(x)在x点可导，且导数等于g(0)，记作f'(x)=g(0)。

例如函数f(x)=x^2，增量比

Δy/Δx=((x+Δx)^2-x^2)/Δx

=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx，由于Δx在分母中，显然这个增量比在Δx=0点不是Δx的连续函数。

但是，存在Δx的连续函数g(Δx)=2x+Δx

，使得对于所有Δx≠0时有Δy/Δx=2x+Δx，则f(x)=x^2在x点可导，且导数等于g(0)=2x，即f'(x)=(x^2)'=2x。

从上例可以看出，求导数完全不用极限的概念，只用连续函数的概念就可学通。等到学通了微积分后，再在需要时，用极限把连续函数的概念严格定义清楚。大家看这是不是一种不用极限学习微积分的好方法。

当然在我们仔细追究什么是连续函数的定义时，最终离不开极限的概念。我们称一个有定义的函数是连续的当且仅当自变量的值连贯时函数值也连贯，没有断点。那么什么是一个有定义的函数y=f(x)在x=a点连贯，其函数值y也连贯呢？严格讲就是当自变量x无限接近a时，函数值y=f(x)无限接近函数值f(a)没有差距很大的断点。更严格地讲，函数在a点附近没有断点，就是对任何ε>0，都存在有δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε。因为在a的附近有断点，就是意味着存在有ε>0，对任何δ，都存在有满足0<|x-a|<δ的x，使|f(x)-f(a)|≥ε成立。

我们知道这就是当x趋于于a时，函数f(x)的极限是f(a)的定义。因而连续函数的定义最终离不开极限。

请大家注意我们在这里所阵述的导数的定义。

【导数的定义】设有一函数f(x)，考虑增量比

Δy/Δx=(f(x+Δx)-f(x))/Δx。

如果存在Δx的连续函数g(Δx)，使得对于所有Δx≠0时此连续函数g(Δx)等于增量比，即Δy/Δx=g(Δx)成立，则称f(x)在x点可导，且导数等于g(0)，记作f'(x)=g(0)。

这个定义可以证明是微积分学理论中关于导数的正确的等价定义。同在微积分中把导数定义为当Δx→0时增量比的极限的定义是完全等价的。因为如果函f(x)在a奌可导，增量比的极限存在，则令g(0)=此极限，令g(Δx)在Δx≠0时等于增量比，则可证函数g(Δx)存在且连续，反之如果连续函数g(Δx)存在，则增量比的极限存在可证函数可导。所以这是导数的等价定义，并未对微积分理论作任何改变。

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