Zmn-0996 薛问天 : 正确认识第二代微积分，谈师教民先生的错误观点，评《0994》 

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对师教民先生《0994》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识第二代微积分，谈师教民先生的错误观点，评《0994》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

看了师教民先生在《0994》中的四篇评论文章。我认为师教民先生的认识和覌点基本上是错误的。他的错误主要有两点。(1)他否定第二代微积分。他认为第二代微积分是有错误的，认为第二代微积分提出的极限理论有错误，沒有解决第一代微积分中的悖论。这种观点是错误的。(2)他歪曲理解了张景中先生的意見，或许是张景中先生把他的意見沒有完全讲清楚。张先生所谓的【不用极限】指的是形式上和逻辑上而不是指实际的含义上【不用极限】。【不用极限】只是表面上或先暂时不用极限，微积分理论最终是离不开极限的。不可能存在完全真正脱高开极限理论的微积分。所提出的微积分不同理论只可能是与极限理论等价而不是否定极限的理论。因而顶多只是表面上不用极限，而本质上和实际上还是最终要用到极限。我个人认为，张先生所谓的【不用极限】指的是形式上和逻辑上而不是指实际的含义上【不用极限】。把这种只是先暂不用极限，而最终同用极限建立的微积分理论等价的理论称为【第三代微积分】并不十分恰当。

(一)，张景文先生是肯定第二代微积分的。他说“由柯西和维尔斯特拉斯等， 建立了严谨的极限理论， 巩固了微积分的基础， 这是第二代的微积分。第二代的微积分是说清楚了的， 但是 由于概念和推理繁琐迂回， 对于绝大多数学习高等数学的学生来说， 是听不明白的微积分． 微积分就这样在多数学习者听不明白的情形下， 又发展了 170 多年， 直到今天． ” 

对其中这句话【由于概念和推理繁琐迂回， 对于绝大多数学习高等数学的学生来说， 是听不明白的微积分． 微积分就这样在多数学习者听不明白的情形下， 又发展了 170 多年， 直到今天．  】

中的【听不明白】，要正确理解，应是指在开始学习时，暂时【听不明白】，而不是指最终【听不明白】。

对张景文先生这句话要正确理解，张是非常肯定第二代微积分的，他说了第二代微积分【建立了严谨的极限理论， 巩固了微积分的基础， 这是第二代的微积分。第二代的微积分是说清楚了的。】既然【是说清楚了的】就不可能对于绝大多数学习高等数学的学生来说， 是最终【听不明白】。而只能是【由于概念和推理繁琐迂回】在开始学习时遇到困难，暂时【听不明白】而已。而最终还是基本上能听明白的。这也许是张没有完全说准确，但绝不能对这句话有错误的理解。认为【听不明白】，就是二代微积分【没有说清楚】。

正是师教民先生基于对张景文这句话的错误理解，于是得出了错误的结论。他说【1)那些绝大多数听不明白第二代的微积分的学生们在毕业工 作后，由于不能明白第二代的微积分，所以就不能用第二代的微 积分为人类造福了． 所以， 第二代的微积分就基本上成为废物了． 2)对于听不明白第二代的微积分的绝大多数学生，全世界各 大学校的校长，还要强迫他们去听课， 从而白白浪费了大量的人 力、物力、财力，时间、精力、资源！......。】

事实是，第二代的微积分是说清楚了的有用理论，不是廢物。绝大多数学习高等数学的学生， 是最终基本上学懂了微积分，能用第二代的微积分为人类造福。高等学校的教学为此作出了重大贡献。

师教民先生认识上的错误在于他认为【3)第二代微积分根本就不严谨， 更未说清楚， 其中仍然存在着许多的重大科学错误． 】

关于这点我们将在文中的(三)对师先生所举的例子和错误覌点作专门的评论。

(二)，我们知道张景文先生在文中引入了在(0，A)开区间上定义的非负、不減、无正下界的函数d(h)(为引述方便，我们将此种函数d(h)简称为【非不无函数】)。而且这个定义不用极限，只用了【非负，不減和无正下界】，是在此直接定义的【非不无函数】概念的基础上定义了微积分的基本概念-导数。可以这样定义。

如果对函数y=f(x)，存在有g(x)，使得对点x，有一个【非不无函数】d(h)，使下式成立。

|(f(x+h)-f(x))/h -g(x)丨≤d(h)

则称在x点，g(x)是f(x)的导数。如果对每个点都有d(h)使其成立，则称函数g(x)是f(x)的导函数。如果有d(h)对每个点x都使其成立，则称函数g(x)是f(x)的一致导函数。

另外，还提出了用引入【正值递减无上界函数】D(x)`的方法来定义导数。由于对所引入的正值递减无界的函数 D(x)，只要考虑M/D(x)是【非負不減无正下界的函数】。用D(x)定义导数的方法，具有同前面定义类似的情况。

为了进行具体讨论，我们可以严格论述下述事实。

设有(0，A)上的函数φ(x)，我们把等于函数φ(x)在(0,h)中函数绝对值的最大值的函数d(h)=max{|φ(x)| 丨x∈(0,h)}，称为是是函数φ(x)的前最大函数。

另外，我们称当x→0时函数的极限为0的函数φ(x)，即φ(x)→0(x→0)，为【极限为0的函数】。

严格地讲，我们称φ(x)是【极限为0的函数】当且仅当对任意ε>0，存在有δ>0，对任何满足0<|x|<δ的x，有|φ(x)|≤ε。

可以严格证明下述定理。

定理1。函数d(h)是【非不无函数】，当且仅当存存有【极限为0的函数】φ(x)，使d(h)是φ(x)的前最大函数。

证明。1)，设φ(x)是【极限为0的函数】，d(h)是φ(x)的前最大函数，

d(h)=max{|φ(x)|丨x∈(0,h)}。显然d(h)是非负函数，而且容易证明其非減。因为设h1<h2，有(0,h1)⊂(0,h2)，所以由前最大函数的定义知d(h1)≤d(h2)。現在证明d(h)不存在正下界。因为φ(x)是【极限为0的函数】，当x→0时φ(x)→0，所以对任意正数ε＞0，都存在在δ，使在x∈(0,δ)时|φ(x)|≤ε，从而d(δ)≤ε。可見d(h)无正下界。这就证明了d(h)是非负，不减，无正下界的函数。

2)，设d(h)是【非不无函数】。显然由于d(h)是非負和不減的，知令φ(x)=d(x)，由于max{|d(x)||x∈(0,h)}=d(h)，则知此d(x)的前最大函数就是d(h)本身。所以只要证明【非不无函数】d(x)本身是【极限为0的函数】就可以了。下面来证。由于d(x)是无正下界的数。所以对任意ε>0，都存在有δ，使d(δ)≤ε。再由于d是非負和不減的函数，所以对所有的x∈(0,δ)，即|x-0|＜δ，都有|d(x)|≤d(δ)≤ε，这就说明当x→0时δ(x)→0。证毕。

定现2。函数φ(x)是【极限为0的函数】当且仅当存在有【非不无函数】d(x)，使|φ(x)|≤d(x)，(0＜x＜A)。

证明。1)，设函数φ(x)是【极限为0的函数】，令d(h)是φ(x)的前最大函数，前己证d(h)是【非不无函数】，而且由前最大函数的定义可知对任何h∈(0,A)，有|φ(h)|≤d(h)。这就证明了存在有【非不无函数】d(x)，使|φ(x)|≤d(x)，(0＜x＜A)。

2)，设对函数φ(x)存在有【非不无函数】d(x)，使|φ(x)|≤d(x)，(0＜x＜A)。由于d(x)是无正下界的函数。所以对任意ε>0，都存在有δ，使d(δ)≤ε。再由于d是非負和不減的函数，所以对所有的x∈(0,δ)，即|x-0|＜δ，都有|d(x)|≤ε，但由于|φ(x)|≤d(x)，也有|φ(x)|≤ε。这就说明当x→0时φ(x)→0。证毕。

这一段也可这样简单证明。由于前面己经证明【非不无函数】d(x)本身就是【极限为0的函数】，而且又有|φ(x)|≤d(x)，所以根据不大于【极限为0的函数】的函数肯定是【极限为0的函数】，即可推出φ(x)是【极限为0的函数】。

另外我们知道极限为0是函数极限的特例。而且由【极限为0的函数】可以严格定义函数的极限。

函数极限(右极限)的定义。函数f(x)当x→a时的极限是B，f(x)→B(x→a)，即f(a+h)→B(h→0)，当且仅当函数f(a+h)同极限B的差:φ(h)=f(a+h)-B是【极限为0的函数】。

由上面的论述可见、极限概念完全可以用【非不无函数】的概念严格定义。而且反之，【非不无函数】的概念也可以由极限概念严格定义。

同时可以在不用引入极限概念的条件下来定义导数，定义微积分。可以说这样定义的微积分是【不用极限】的微积分。但是我们一定要认识到这种【不用极限】只是形式上的和逻辑表述上的【不用极限】。在实质上微积分同极限密切相关，

离不开极限。这是因为【非不无函数】和【极限为0的函数】在本质上是含义密切相关的。要知道凡绝对值小于等于【非不无函数】的函数就是【极限为0的函数】，所有【极限为0的函数】的前最大函数就是【非不无函数】。一个函数同一千常数B的差是【极限为0的函数】，则B就是此函数的极限。要知道张景中先生用【非不无函数】来定义导数时就是用的绝对值小于等于【非不无函数】，从而实际上就是用的【极限为0的函数】这个概念。他用函数f(x)增量比同g(x)的差是【极限为0的函数】，实际上就是在说函数f(x)增量比的极限是g(x)。也就是说在形式上，逻辑上没有用极限这个概念，没有用到极限这个名词，但在实质上，在实际含义上就是用的极限。

师教民先生将此批评为矛盾。他说【声称“不用极限” 而实际“使用极限” 的矛盾！】我认为这是对张先生所说的【不用极限】的误解。在张先生定义的微积分中，确实可以作到在在形式上逻辑上，不用极限这个概念去严格定义导数。但是在实际含义上仍然离不开极限，用到的就是极限。因而张先生所谓的【不用极限】指的是形式上和逻辑上而不是指实际的含义上【不用极限】。

另外，极限理论已成为微积分的重要组成部分，【不用极限】只是表面上或先暂时不用极限，是缓用的意思。微积分理论最终是离不开极限的。不可能存在完全真正脱高开极限理论的微积分。关于这点文献[1]在第 130 页中说： “但极限理论毕竟是高等数学的 重要内容， 不可不学．......°。

师教民先生的错误在于他认为极限理论有错误，但张景文先生是肯定极限理论的，他虽然认为在形式上逻辑上，可以【不用极限】，但在实陆上他建立的理论是同极限理论是等价的，实际上是用到了极限理论。所以师教民先生所说的不应该用极限理的批评都是错误的。例如他认为强调【极限理论】【不可不学】，【这就是弄巧成拙、 事倍功半了】的说法就是完全错误的。

(三)，师教民先生的主要错误在于他对弟二代微积分和极限埋论的否定。他说【第二代微积分根本就不严谨， 更未说清楚， 其中仍然存在 着许多的重大科学错误． 这些错误的举例见我的论文《三评不用 极限的第三代微积》 的 1 中 2)里④内的Ⅰ， Ⅱ， Ⅲ．】现在我们就来对他所说的Ⅰ, Ⅱ,Ⅲ加以评论，指出师教民先生的覌点是错误的。

Ⅰ， 他说极限概念【是其创立者们依靠聪明的头脑和灵巧的双手凭空想像、 精心制作出来的．并非来源于客观实践．】这种说法毫无根据，函数极限强调的是函数变量y=f(x)随自变量的变化而变，当自变量x无限趋近于a时，函数变量无限趋近于常数B。而这正是人们经过长期实践所得出的概念，怎么就能说它【并非来源于客覌实践】呢。师教民先生对、他的论点沒有提出任何证据和理由。

Ⅱ， 师教民先生认为【第二代微积分存在许多重大科学错误】． 他谈了 2 例如下

1)，他认为【仍然存在第一代微积分留下的微分 dx≠0 和 dx=0 的矛盾。】这是错误的，在第二代微积分中，由于引入了极限概念己不存在dx≠0 和 dx=0 的矛盾。

以求y=x^2的导数为例。一代微积分，所谓的无穷小增量dx,dy的概念是含混不清的。把导数定义为dy/dx。开始假定dx≠0，推出

dy/dx=((x+dx)^2-x^2)/dx =(2x+dx)dx/dx=2x+dx，，然后令dx=0，求出导数等于2x。显然这里有dx≠0 和 dx=0 的矛盾。

但是我们知道第二代微积分是把导数定义为增量比的极限，即定义为当Δx→0时Δy/Δx的极限。由于自变量的微分dx=Δx，所以导数也可写为lim[dx→0](Δy/Δx)。因而对于y=x^2的导数可以写为

lim[dx→0](Δy/dx)=

lim[dx→0](2x+dx)dx/dx=

lim[dx→0](2x+dx)=

lim[dx→0](2x)+lim[dx→0](dx)=

2x+lim[dx→0](dx)。

最后由于lim[dx→0](dx)=0，推出导数lim[dx→0](Δy/dx)=2x。

在推导中仍是假定dx≠0，这里是lim[dx→0](dx)=0，并不是dx=0，所以己经绝然不存在dx≠0 和 dx=0 的矛盾。

可是师教民先生却在这里乱说了。他说这【只是用魔术手段，以极限符号掩盖并保留了上述矛盾，】【这就是说， 第二代微 积分通过先加上极限符号（ 前部）、 后去掉极限符号（ 中部） 的手 段，把 2x+dx 中的不等于 0 的 dx 造假成了 2x+0 中的 0，即表现出和第一代微积分相同的 dx≠0 和 dx=0 的矛盾．】

这明显地是对极限概念的污蔑和歪曲。极限不是什么【魔术】和【符号】，它有明确的严格的定义。一个函数φ(dx)当dx趋近于0时的极限己经不是指函数φ(dx)本身的值，lim[dx→0]φ(dx)=B，是说极限B是当dx无限接近于0时，函数φ(dx)无限接近的数B。第二代微积分中导数已不简单是增量比的值，lim[dx→0](Δy/dx)是指当dx趋近于0时增量比的极限。同理lim[dx→0](dx)已不是不等于0的dx，而是当dx趋近于0时无限接近的数，它已是0了。dx同lim[dx→0](dx)是不同的两个概念，dx≠0同lim[dx→0](dx)=0沒有任何矛盾。

所以说师教民先生的质疑，认为【第二代微 积分的求极限的过程只是变了一场戏法而非科学的论证】是完全错误的，在用极限定义的导数中己经绝然不存在dx≠0 和 dx=0 的矛盾。

接着师教先生说【第二代微积分的上述造假的把戏还可以用 2 种方法来戳穿】。下面我们就来评论他说的两种方法。

方法1，

师先生说在二代微积分中有公式(3)，lim[dx→0]((2x+dx)dx)/dx=

lim[dx→0](2x+dx)。

然后说【（该式左右都有lim[dx→0] ，且都有 dx≠0） 里， 只是去掉右边的lim[dx→0]并令 dx=0 得 2x+0=2x．】

要知道说【（该式左右都有lim[dx→0] ，且都有 dx≠0）】 这是对的。 但说【去掉右边的lim[dx→0]并令 dx=0 得 2x+0=2x】的说法是错误的，推论并不是简单地【去掉右边的lim[dx→0]】同时也并沒有【令 dx=0 得 2x+0=2x】。要知道这是因为根据极限理论，lim[dx→0]2x=2x，lim[dx→0]dx=0。并不是令dx=0。而是lim[dx→0]dx=0。这都是有根据的，是根据极限理论的规律严格推导出来的结果。

师先生接着说【极限理论至死不敢将(3)式左边的lim[dx→0]去掉！“不予去掉”必不公平！】

这讲得毫无道理，要求的是极限就应去求极限，怎么能把它去掉！

接着师先生独出心裁自作聪明地说【为了公平， 为了揭露藏在第二代微积 分心中的难言之隐，我们就替它去掉． 去掉后， 也应该像右边那样， 令 ((2x+dx)dx)/dx里的 dx=0，于是得 (2x+0)0/0=0/ 0 ． 这样就 出现了极限理论与经典数学中的分母不能为 0 的矛盾．】

我们知道在推论 ((2x+dx)dx)/dx=2x+dx就要求dx≠0，你令dx=0，这就是一代微积分中的矛盾。二代微积分为了解决此矛值才把导数定义为极限而且坚持要求dx≠0。你现在去掉了极限，又令dx=0，当然就又恢复到一代微积分的矛盾。所以说这个矛盾是你师教民先生别出心裁而造成的，并不是二代微积分造成的。在二代微积分中不能去掉极限和必须坚持dx≠0，不能令dx=0。这是二代微积分的关键。

所以说师先生的方法1是错误的。

方法2，

师教民先生说【第一代微积分把函数 y=x^2 的导数定义为 F(dx)=2x+dx(dx 可等于 0)在 dx=0 处的函数值， 第二代微积分则把该导数定义为 

G(dx)=2x+dx(dx≠0) 在 dx→0 时的极限值． 但 G(dx)的极限值和 F(dx)的函数值实际是一回事， 理由为： y′=lim[dx→0]G(dx)=lim[dx→0]F(dx)=F(0)=2x+0=2x． 所以第二代微积分和第一代微积分定义的导数的本质， 因为都是函数 F(dx)在 dx=0 处的函数值 F(0)而相同，只不过是第二代微 积分换了一个与“函数值”不同的名称“极限值”而已， 所以第 二代微积分和第一代微积分一样存在 dx≠0 和 dx=0 的矛盾．】

这段叙述是错误的。

师教民先生的主要错误在于他没有分清在dx≠0的条件下相等的等式

((2x+dx)dx)/dx=2x+dx

左右两边是两个不同的函数。

左边是G(dx)=((2x+dx)dx)/dx，在dx=0点没有定义，而右边F(dx)=2x+dx是在dx=0点有定义的连续函数时，才能谈极限值等于dx=0点的函数值。对一般的函数F(dx)是不能谈该点的函数值的。

关于这个涉及到连续函数。正确的说法是在二代微积分中，导数有另一个等价的定义。

如果函数y=f(x)的增量比函数G(dx)=Δy/dx在dx≠0的条件下等于一个在dx=0点连续的函数F(dx)，即G(dx)=F(dx)，(dx≠0)，则称f(x)在x点可导，且导数等于F(0)。

这是因为在dx≠0的条件下G(dx)=F(dx)，所以当dx→0时G(dx)和F(dx)的极限相等。又因为F(dx)是连续的。当dx→0时，F(dx)的极限值等于dx=0时的函数值F(0)。

因而师先生所说的【G(dx)的极限值和 F(dx)的函数值实际是一回事】一般的讲这是错误的，只有在函数F(dx)是连续函数时才有【G(dx)的极限值和 F(dx)的函数值实际是一回事】，在一般情况下【lim[dx→0]F(dx)=F(0)】并不成立，作出这样的推论是完全错误的。所以说第二代微积分并不是【换了一个与“函数值”不同的名称“极限值”而已】， 第 二代微积分巳不存在第一代微积分 dx≠0 和 dx=0 的矛盾．所以师先生的方法2也是错误的不能成立。

2)，第2个例子。师教民先生在这里试图证明【把 y=f (x)的自变量的微分 dx 定义为可以是任意大、充分大、足够大的增量 Δx 是错误的】。他用的是正反函数构成的复合函数。师先生的错误在于他不了解微分dy，dx不仅同变量x,y有关，而且同变量是哪个函数的因变量的这个函数有关。我们来具体分析。

设有函数x=g(y)，y=f(z)，构成复合函数x=h(z)=g(f(z))。从而对此三个函数g,f和h，分别有有

g‘=dx/dy=A，dx=Ady ......(1)

f‘=dy/dz=B，dy=Bdz  ......(2)

h‘=dx/dz=C=AB，dx=Cdz  ......(3)

人们比较容易认知(1)式和(2)式中的dy不是同一个微分，因为(1)式中的dy是函数g的自变量微分，而(2)式串dy是函数f的因变量的微分。

人们比较容易忽視的是(1)式和(3)式中的dx也不是同一个微分，因为(1)式中的dx是函数g的因变量微分，而(3)式中的dx是复合函数h的因变量微分。函数不同但变量相同它仍然不是同一个微分而是不同的微分。要知道师教民先生就犯的是这个错误。

正反函数可以看作是上述复合函数的特例，f和g是正反函数，变量z就是变量x。师先生把dx2/dx1看作是正反函数复合函数的导数，这就把dx2这个函数g的因变量微分错误地认定为是复合函数的因变量微分，犯了严重的错误。从而使他的推论产生了严重的错误。

因而由正反函数的例子，证明不了自变量微分dx=Δx是错误的。

Ⅲ．师教民先生在Ⅲ这里已沒有再提出极限理论的具体问题了。而是在标榜他提出的所谓【新型微积分理论】。他说【我的新型微积分理论： 完全地淘汰了极限概念， 真正 地揭示出微分、导数、积分的本质， 彻底地解决了第一代微积分 留下的、 第二代微积分用极限符号掩盖的微分 dx≠0 和 dx=0 的 矛盾， 巧妙地把微积分理论变得及其简单易懂． 因此，在内容上 更能称得上是不用极限的第三代微积分，】

由于极限理论是正确的理论，师教民先生否定极限理论的各种覌点都是错误的。所以师教民先生【完全地淘汰了极限概念】，所建立的什么【新型微积分理论】毫无意义。由于第二代微积分中提出了极限概念，已经彻底地解决了第一代微积分 留下的 dx≠0 和 dx=0 的 矛盾。所以师教民先生还要提出什么解决第一代微积分矛盾的【在内容上 更能称得上是不用极限的第三代微积分】，则是根本沒有任何必要所做的事。

所以我就沒有去读师教民先生所写的这些内容和给出评论了。那就让有兴趣的读者去读吧，或许能幫师先生发現更多的错误。

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