Zmn-0985 薛问天: 关于康托尔定理的证明。评沈卫国先生的《0984 》和thebeater先生的《0979》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生的《Zmn-0984》和thebeater先生的《Zmn-0979》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关于康托尔定理的证明。评沈卫国先生的《0984 》和thebeater先生的《0979》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

一，如何看待同人工智能机器人的对话。

应该正确对待同人工智能机器人的对话。首先确实应该认识到最近ChatGPT在人工智能的对话方面，确实有很大进步。人工智能在某些方面能超越人脑，这已是不争的事实。但是另一方面也要认识到，人工智能距离全面超越人类的智慧还相距甚远。特别是对一些深入的理论讨论。人工智能机器人的回答，有时回答是对的，但常常错误很多，这也是不需争辩的事实。所以对人工智能机器人的回答，必须还要加以判断，看它是否正确，不能盲目信任作为依据和标准。因而 对thebeater提出的【坚决抵制把“ai”说的话当论据】，我认为是正确的。

沈先生说【薛问天不但没有说什么要“坚决抵制”人工智能，......】沈先生在这里偷换概念。我们当然不是坚决抵制【人工智能】，我们要坚决抵制的是【把“ai”说的话当论据】。对机器人的回答，必须经过我们的判断，如果是正确的，给矛肯定，如果是错误的，必须提出批评，不能盲目信任作为讨论的依据和对错的标准。

二，在thebeater文中，有一个关于康托定理证明的叙述。我认为叙述得很好。沈卫国先生对此也提不出任何反对意見。

但是文中有一个关于对角线上不可能产生有理数的证明。

我对他这个证明提三点意見。

第一，这个证明完全沒有必要。由对角线产生的数b是无穷小数，则肯定是实数，无论它是有理数还是无理数，都同【全部实数都在序列之中】这个命题发生矛盾。从而推翻了反证法实数可数的假定，证明了实数不可数。根本沒有必要证明它不是有理数。沈卫国先生错误认为如果有可能b是有理数，就证明不了实数不可数，这是一个错误的认识。所以在康托尔的证明中，根本沒有必要证明b不是有理数。

第二，此证明并不需要另加以有理数集合是可数为前提。

thebeater的证明是根据在反证法的假定下，【全体(0,1)中的实数已经不重不漏地排成一列了】，全部实数都在序列之中，全体有理数是实数的一部分，当然在此假定下，全部有理数都列在序列之中，此推论并不需要以有理数集合是可数为另加的前提，而是由假定实数可数即可推出。既然已知构造的b不在序列之中，当然b不可能是有理数。这个结论当然是假定的正确推论。′

第三，不过要想清楚，也要说清楚，b不是有理数并不说明b是无理数，要知道无理数也是实数的一部分。b不在序列中，也证阴b不是无理数。也就是说thebeater先生在这里证明的不仅仅是b不是无理数，而是同理证明了，b根本就不是实数。但是我们另外还知道b是无穷小数，b必须是实数，这就产生了矛盾。这个矛盾就推翻了反证法的假定，就己经证明了康托尔定理，就证明了实数不可数。

沈先生说【薛问天是承认对角线上是可以产生有理数的。此点，此君与薛问天直接矛盾。】沈先生不懂任何结论，都要看是在什么条件下的结论。我们【承认对角线上是可以产生有理数】是在同与它矛盾的【全部实数都在序列中】这个命题比较之前的论断。构造的b是无穷小数当然可能是有理数或无理数】，如果把此同【全部实数都在序列中】放在一起，以及考虑b不在序列之中，则b就不可能是有理数，而且也不是无理数，不是实数，产生了矛盾，推翻了整个反证法的假定。所以说我同thebeater的论证并无矛盾。只是认为他证明b不是有理数并无必要。

三，thebeater文中的其它一些解释，我都同意。

沈卫国文中不少论点则是需要逐一批驳。关键是这一段。

1)，他问【由于假设了实数可数，对角线上产生一个实数或无理数，就能证明实数或无理数不可数了吗？】

是的，这就是反证法的威力。【由于假设了实数可数】，就推出了【全部实数都在序列中】.，【对角线上产生一个实数】而且证明它不在序列中，就推出了矛盾，推翻了反证法的假定，反证法假定说【实数可数】，遭到推翻，自然【就能证明实数不可数】。这就是反证法证明的逻辑。对任何命题P,Q，只要证明了P→Q∧~Q，即可证明~P为真。沈卫国不承认这个，就是不懂得反证法。

沈先生说【也不行。如果其它方法下，我们证明了实数（无理数）如有理数一样可数了呢？】

沈先生不懂，这就是反证法的威力，一旦用反证法证明了不可数，你就不可能找到【其它方法】使其可数了，因为否则会产生矛盾。

2)，沈先生说【对角线法的结果，不能作为一个判决性的证明。正如对角线上产生有理数，证明不了有理数不可数一样，对角线上产生无理数，同理，也证明不了无理数不可数。实数也一样。】

说的不对，不是这样。如果你能在有理数可数的反证法假定下，对全体有理数的序列，确定对角线上产生的数一定是有理数，就可推出矛盾，证明有理数不可数。如果你能在无理数可数的反证法假完下，对全体无理数的序列，确定对角线上产生的数一定是无理数，也可推出矛盾，证明无理数不可数。问题是你确定不了，由b是无穷小数，你确定不了它是有理数还是无理数。所以证明不了有理数和无理数集合是不可数的。但是在实数可数的反证法假定下，对于全体实数的序列，由对角线产生的b是无穷小数，可以确定它是实数，从而就可推出矛盾，证明实数不可数。这是根本的原因。

3)，沈先生在文中说【你是隐含着无理数不可数的前提，才可以得出对角线上可以产生无理数的。而不是由于对角线上产生了无理数，就可以证明无理数不可数。】

显然说的是错误的。我前面已指出，thebeater证明b不是有理数是根据全部实数在序列中，有理数是实数的一部分，b不在序列中自然b不是有理数，根据的是反证法的假定，并不需要根据有理数可数。同理根据无理数也是实数的一部分，从而也证明了b不是无理数。根本沒有【隐含着无理数不可数的前提】，也沒有【得出对角线上可以产生无理数的】。实际上是证明了对角线上产生的b也不是无理数。当然康托尔的证明【不是由于对角线上产生了无理数，就可以证明无理数不可数。】而是证明了，在此假定下b也不是无理数，从而证明了b不是实数。但是我们知道b是无穷小数，b必须是实数，这就产生了矛盾。这个矛盾就推翻了反证法的假定，就证明了康托尔定理，就证明了实数不可数。

四，沈卫国先生自作聪明地错误的要求康托尔对角线法是一种能证明所有集合不可数的通用有效方法。他说【它如果对实数不可数性的证明有效，就应该对所有不可数集合有效。反之，只有在其对所有不可数集合都有效，其才可以对实数有效。】他这种对数学定理证明的耍求完全是莫须有的毫无道理的要求。一个数学定理的证明，当然只要求能证明此定理即可，不能要求它还要证明其它定理。

沈先生在文中说了很多疑问，他说【实数不可数的原因】是实数中的【无理数不可数】，为什么康托对角线法能用反证法证明实数不可数，但不能证明单独的无理数序列不可数。甚至发出感叹.，认为这是【是很奇怪的事】。这说明沈先生对康托尔证明的具体证明情节并不真正理解。

我在前面(見三.2)已经讲得很清楚。康托尔的对角线法就是对证明实数不可数有效，这是因为对角线构造的不在序列中的数b是无穷小数，可以断定它是实数，能产生矛盾，从而证明实数不可数。由于断定不了b一定是无理数，产生不了矛盾，所以对角线法不能直接证明无理数不可数。康托尔的对角线法能証明实数不可数但证明不了无理数不可数这个事实，就彻底批判了沈卫国的上述论断是错误的。

五，沈卫国先生对康托尔定理证明的两种理解都是错误的。

关于康托尔定理的证明，关于在反证法的【实数可数】的假定下，推出【全体实数都在形成的序列之中】，以及【用对角线法构造了不在序列中的b是实数】，沈先生认为【也许有两种理解】，他说第一种理解是，假设“全部实数可以排成一列”，【被其对角线法否定了。能列出的只是实数、有理数的一个真子集。】

第二种理解是【既然全部有理数排成了一列或包括在一列里面了，那么，对角线上就不应该再产生新的有理数，而只能产生新的无理数。】

而且说【即使按这两种解释，康托对角线法证明实数不可数也都不成立。】

实际上恰恰相反，这两种理解的错误就在于没有得出推翻反证法的假定的结论，没有使定理得证。

关于第一种理解。要知道在反证法的【实数可数】的假定下，【全体实数都在形成的序列之中】就不可能【能列出的只是实数、有理数的一个真子集。】这是由假定推出的矛盾。而正是这个矛盾推翻了反证法【实数可数】的假定。证明了实数不可数，才能得出【任何实数形成的序列，都是全体实数集合的真子集。】

关于第二种理鲜。要知道在反证法的【实数可数】的假定下，【全体实数都在形成的序列之中】，可以推出【对角线上产生的数b不是有理数】，但是同时也推出【对角线上产生的数b也下是无理数】。即b不是实数。但知b是无穷小数必须是实数，这就产生了矛盾。而正是所推出的矛盾推翻了【实数可数】的假定，证明了实数集合不可数。

也就是说关于康托尔定理的证明，关于在反证法的【实数可数】的假定下，推出【全体实数都在形成的序列之中】，以及【用对角线法构造了不在序列中的b是实数】，无论在那种理鲜下。这都产生了矛盾。所推出的矛盾，推翻了【实数可数】的假定，证明了实数集合不可数。

所以说穿了，【就这一句话就够了】。关键是沈卫国先生，你敢公开直接的回答我提出的①②③三个问题吗？

①，在反证法的【实数( 指单位区间中的实数，下同)可数】的假定下，可否推出【全体实数都在形成的序列之中】？

②，用对角线法构造的b是实数而且不在序列中，是否同【全体实数都在序列中】发生矛盾？

③，所推出的矛盾是否推翻了实数可数的假定，证明了实数集合不可数？

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