欧拉幂数和猜想的解的特点

龚明，中国科学技术大学

欧拉幂数和猜想猜想说的是对每个大于2的整数$n$, ，任何$(n-1) $个正整数的$n$次幂的和都不是某个正整数的n次幂，即\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n-1} x_i^n \ne x_n^n, \quad x_i \in \mathbb{Z}. \end{equation*}这个结果显然是对费马大定理的推广。费马大定理说，对任意$n>2$, 方程$x^n + y^n = z^n$没有正整数解。大家一直都努力去证明这个结果。要否定这个结论，比证明这个结论要简单得多，只需要找到一个反例即可;  这是另外一条路。1983年，数学家法尔廷斯（Faltings，1954 - ）证明，对于任意$n>1$，方程$x^n + y^n = z^n$最多有有限个不同的解（排除倍数的情况）。1966年，L. J. Lander和T. R. Parkin推翻了欧拉的这一猜想（见下面的图），他们考虑一个特例：$n=5$。这是一篇非常有趣的文章，以"简洁明了“和“最短论文”著称。数学论文一般涉及复杂的定理和计算，结论晦涩，很难看懂，这篇文章是例外，外行人都能做到”一目了然“地明白其意思。本文对这个结果做一点补充说明。

第一、Lander和Parkin的解对应最小的$x_i$（论文中已指出）；

\begin{equation*}27^5 + 84^5 +110^5 +133^5 =144^5. \end{equation*}

第二、不等价的解（即非倍数关系）可能非常稀少，是否有限，目前依旧悬而未决；

这个数值的结果是显而易见的：如果$x=\{x_i\}$是其解, 其倍数$x'=\{x_i' = cx_i\}$也是其解（$c\in \mathbb{Z}$）。在1000以内扫描，我们发现除了（27，84，110，133，144）以及它的倍数，没有别的数字满足这个关系。可见，如果有多组不等价的解，或者有无穷多组解，其解一定是稀少的。

数值扫描得到了这些结果后，我反而心生好奇，这两位数学家是用什么方法获得了这个最小解呢？因为利用数值模拟在更大的范围内找这个解，尤其是找非（27，84，110，133，144）倍数的解则非常困难---当然肯定有办法，但“很贵”。最近有人找到了第二组解，即
\begin{equation*} 85282^5 + 28969^5 + 3183^5 + 55^5=85359^5 .\end{equation*}

后来，大家发现了$n=4$的反例。1988年，科学家Roger E. Frye利用强大的超级计算机计算了上百个小时，最终得到下面的等式

\begin{equation*}95800^4 + 217519^4 + 414560^4 =422481^4.\end{equation*}

这个例子来自邓纳姆的科普书（见参考文献），它是最小的满足$x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 = x_4^4$的解。这个解非唯一，科学家还找到了别的解，比如(最后一个是作者名字）

673865, 1390400, 2767624, 2813001 (Allan MacLeod)                                                            

1705575, 5507880, 8332208, 8707481 (D. J. Bernstein)                                                            

5870000, 8282543, 11289040, 12197457 (D. J. Bernstein)                                                            

4479031, 12552200, 14173720, 16003017 (D. J. Bernstein)                                                            

3642840, 7028600, 16281009, 16430513 (D. J. Bernstein)                                                            

搜寻这个解需要的计算量，已经超过了目前台式电脑的计算能力。本文的尝试蛮有意义：通过计算，我们知道这个解的独特性、稀有性、以及富有启发性等。在很多情况下，我们可以通过“数值计算”---相当于做一个实验---很快理解某个问题的核心思想，或者某个结果的价值。这个方法值得大学生、研究生好好掌握。

(编程扫描得到的$x_1^5 + x_2^5  + x_3^5 + x_4^5 = x_5^5$的数值解，它们都是第一行的倍数）

（最短论文）

（1988年Roger E. Frye的论文摘要和结论）

参考文献：

1. 邓纳姆《数学那些事，伟大的问题与非凡的人》，冯速译，人民邮电出版社。

2. 数据来源网站：https://oeis.org/A003828

3. Roger E. Frye的原始文章（其中有他的数值算法）：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=74138

4.  Euler‘s Sums of Powers ， By Ivars Peterson，https://www.sciencenews.org/article/eulers-sums-powers

注：我在写完后查阅了一些资料，改正了一些错误，确保本文结论没有明显的错误。本文没有输入任何新的知识，这个数值尝试，可能是唯一的价值。