从伊藤（Ito）引理到股票价格

龚明，中国科学技术大学

上一篇文章介绍了随机微分方程的重要性，这篇文章介绍Ito引理---随机微分方程中的牛顿方程---并计算股票的价格波动。我们看看市场波动如何影响股票的价格。

对于下面的随机过程\begin{equation*}dX = \mu dt + \sigma dW, \end{equation*}其中$\mu$为漂移项，$\sigma$为随机涨落项，$W$为Wiener过程。我们要计算$f(X, t)$的微分形式，所以有 \begin{equation*} df = {\partial f \over \partial t} dt + {\partial f \over \partial X} dX + {1\over 2} {\partial^2 f \over \partial X^2} (dX)^2. \end{equation*} 考虑到, $dW \sim \sqrt{dt}$, $dW^2 = dt$，第二项破坏链式法则，保留最重要的一项 $(dX)^2 = \sigma^2 dW^2 = \sigma^2 dt$。这就是著名的Ito引理，它和微积分的最主要差别是没有链式法则（Chain rule）。我们忽略一些严谨的数学证明，这样会看到这个引理是非常简洁漂亮的，就像牛顿方程$f = ma$一样。

这个理论可以用来求解一些随机微分方程，其中最有趣的，可能就是Black-Sholes价格方程。考虑\begin{equation*}dS = \mu S dt + \sigma S dW. \end{equation*} 我们考虑$f = \ln S$，那么计算\begin{equation*} df = (\mu - {\sigma^2 \over 2} ) dt + \sigma dW. \end{equation*} 这样它的解为\begin{equation*}  \ln S - \ln S_0 = (\mu - {\sigma^2 \over 2}) t +  \sigma W(t). \end{equation*}这个结论表明，如果$|(\mu - {\sigma^2 \over 2}) t| \gg \sigma^2 t$，第一项占主要；否则第二项占主要的。第二项一般和短期行为有关，也是机会所在。

让我们回顾上一篇文章的模型。假设一个人将钱存入银行中，奇数天的收益为$\mu + \sigma$，偶数天为$\mu-\sigma$，两天后它的收益为\begin{equation*} S (1+ \mu_\text{eff})^2 = S (1+\mu+ \sigma)(1+\mu - \sigma). \end{equation*} 可以得到\begin{equation*}\mu_\text{eff} = \mu - {\sigma^2 \over 2}, \quad \mu^2 \sim 0. \end{equation*}严格的结果应该为$r_\text{eff} = \mu- (1/2 - \mu/2 + \mu^2/2) \sigma^2+ \cdots$，考虑到银行每天的收益很小（$\mu \sim 3\%/365$），我们忽略不重要的项, 所以得到上面的简单表达式。我们看到，在Ito引理，我们也可以得到收益中的$-\sigma^2/2$的项，它来自破坏链式法则的高阶项。这个结论也表明，任何涨落都会导致收益减少。所以，如果市场波动小，$\mu - \sigma^2/2 > 0$，这个投资是可以获利的；如果市场波动大，就会越来越赔钱。当然，这个结论是一个理想模型，在实际应用中其价值有限---市场不可能总是有这么理想的方程存在；但是它依旧是有启发性的。在短期来看，涨落项可能发挥很大的作用，是有某些套利的机会的。此外，如果考虑很多不同的随机价格的耦合，它也会导致某些新奇的现象发生，比如对冲效应等等---这些就超出了我的研究范畴。但是从这个简单的例子，我们还是看到Ito引理在求解随机微分方程中的价值。我们的结论是, Ito引理可以用来求解随机微分方程。

（图片来自网络）

2022年10月25日，《计算物理》涉及到这些内容，并强调Ito引理在求解随机微分方程（SDE，Stochastic differential equation）中的价值。本文只是泛泛而谈Ito的理论以及如何用它求解SDE方程，其在具体应用中的价值，还需要在实战中去体会。是为记。

注：欢迎大家转发这篇文章，无须征求我的同意。