关于随机微分方程的一个注记

龚明，中国科学技术大学

今天的计算物理课程，我讲述了随机微分方程。这个方程最在由郎之万（Langevin）1908年提出，它得到的方程为\begin{equation*}m{d^2x \over dt^2} = -\gamma x -{\partial U \over \partial x} +  \xi. \end{equation*}这个方程有一个问题，即对于随机力，$x(t)$导数是非良好定义的（ill-defined）。如果我们观察一个随机过程，我们看到它的左导数和右导数可能是不相等的。这意味着，这个理论要严格化，数学化，需要一个新的数学理论。郎之万的技巧也许适合于这一个方程，但是不适合用来处理一般的随机微分方程。这个突破是日本数学家伊藤清（Ito）在1942 - 1946年完成的 --- 当时正是二战时期，他还没有获得博士学位。这个理论被称为“随机王国中的牛顿定律”。2006年，他获得了高斯奖，这是应用数学领域的最高奖。但是以这个理论为基础的Black-Sholes方程（1973年提出），在1997年获得了Nobel经济学奖。这个理论在经济学中发挥了重要作用；我国彭实戈院士在倒向随机微分方程理论中做了重要工作，这个工作获得了2020年的“未来科学大奖”。

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那么，为什么需要新的数学呢？教材里面的微积分理论就不行了？让我们用生活中的例子来说明。比如我们将钱用于投资，我们的收益满足微分方程\begin{equation*}dS = (r + \xi) S. \end{equation*}其中$r> 0 $为固定增长率，$\xi$为利率浮动。利用微积分公式，我们可以得到它的解\begin{equation*}S = S_0 \exp(rt + \int_0^t \xi(\tau) d\tau). \end{equation*}这个结果马上有一个推论，即对于任意固定利率，以及任何市场浮动，只要存钱的时间足够长，我们投资的钱都是会增长的。这是因为积分$\int_0^t \xi(\tau) d\tau$有正有负，其积分会互相抵消，从而变得不重要。也就是说，钱投资的时间越久，它越安全。

这个结论显然和我们的生活常识不一致。为此，我们假设一个极端情况。假设一个投资，收益在奇数天为$(r-\xi)$，偶数天为$(r + \xi)$，两天后，我们的钱为\begin{equation*} S = S_0 (1 + r- \xi) (1+ r + \xi) = S_0 ((1+r)^2 -\xi^2). \end{equation*} 我们看到，如果$2r +r^2 -\xi^2 < 0$，我们的钱会越来越少，而不是增加。换句话说，我们的有效增长率为\begin{equation*}r_\text{eff} = 2r + r^2 - \xi^2. \end{equation*}也就是说，市场振荡越大（$\xi$越大），我们的钱一定越少（$r_\text{eff} < 0$）。这和我们的生活经验是一致的。所以，如果市场风险大，我们的钱一定要存在银行里面,  因为银行有固定利率；如果市场风险小，我们就投入市场，因为市场有更高的回报率。这是简单的经济学常识。

从这个例子，我们看到，随机微分方程不能简单套用微积分理论---这是因为随机微分方程没有链式法则（chain rule）。我们可以从导数的角度看这个问题，也可以从上面的例子看这个问题。这套理论是概率论和微积分的结合，其核心是概率论的中心极限定理和大数定律，而数学理论基础为Ito引理。最后，我建议我们的本科生，如果有可能，在大学阶段一定要选修随机过程和随机微分方程。这是一门充满智慧，而且很有实际应用价值的课程。

题外话： 现在，任何一个东西都可以随机化：随机电路、随机量子力学、随机电磁学、随机网络、随机方程、随机非线性方程等等。需要特别提到的是2021年的Nobel物理学奖，它被颁发给了美国物理学家Syukuro Manabe、德国物理学家Klaus Hasselmann和意大利理论物理学家Giorgio Parisi（其中Giorgio Parisi获得一半奖金），以表彰他们“对我们理解复杂物理系统的开创性贡献”。他们的工作都和随机微分方程有关，比如，Klaus Hasselmann提出了随机大气模型（stochastic climate models， 1976年），而Parisi有著名的自旋玻璃模型和KPZ（Kardar-Parisi-Zhang）模型，并利用重整化理论求解了它们。此外，涂豫海（现北京大学教授）在聚飞理论（Flocking Theory）及开辟活性物质 (Active Matter) （或者随机Navie-Stokes方程）中做了重要贡献，获得了2020年APS 昂萨格奖（Lars Onsager Prize）。这些人的贡献都是一些随机微分（非线性）方程。可见，随机微分方程在很多领域都有重要应用---这个以后再讨论，本文只是用一个最简单的例子来说明它的独特性和应用价值。

注：在求解非线性微分方程的时候，有一个非常重要的方法，即多重尺度分析方法（multiscale analysis）。刚才笔者搜索了一下，果然有随机多重尺度分析方法（stochastic multiscale analysis）。这个方向的论文很多。但是Stochastic Bethe-ansatz方法，目前似乎还没有。

补充：保罗·朗之万（Paul Langevin，1872年1月23日-1946年12月19日）是法国物理学家。 1897年，他来到剑桥大学，在约瑟夫·汤姆孙的指导下于卡文迪许实验室学习。后来，朗之万回到巴黎大学，并在皮埃尔·居里的指导下于1902年取得博士学位。他在次级X射线、气体中离子的性质、气体分子动理论、磁性理论以及相对论方面都有重要的工作；最著名的贡献是随机运动中的朗之万方程。他是法国共产党员，强烈反对纳粹，因而在维希政府时期声望大受影响，但法国光复后声望得到恢复。1930年和1933年曾两度当选为索尔维物理学会议主席。 1931年-1932年郎之万受国际联盟指派来考察中国教育，在他的建议和推动下，中国物理学会在北京成立（1932年）。他对中国抗战抱支持态度。--- 来自百度百科

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注：2022年11月23日，周三下午讲述概率论、布朗运动、随机微分方程等知识。本文涉及的例子，在去年、今年的《计算物理》中都讲述过。2010年我面试过一个金融公司，对方给我的题目是推导Black-Sholes方程的解；后来我放弃了这个职位。我找到了20种推导方法，由此和这个方程结缘。没想到多年后，它成了我课程的重要组成部分，也成了我的研究的一个重要兴趣点。这是因为在量子耗散中，我们也有类似的描。比如，我在以前的教学中会重点讲述量子郎之万方程以及Lindblad方程，它们都用到了Ito引理（见周祥发、郭光灿《量子光学》第5章（主方程）和第6章（郎之万方程），科学出版社，2022年）。

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