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错得离谱的猜想---兼答数学小天才的三个猜想

已有 6260 次阅读 2012-12-21 13:36 |系统分类:科普集锦| 猜想, 费马, 完全数

1640年，费马提出了一个猜想，认为所有的费马数 ${{2}^{{{2}^{n}}}}+1$ 都是素数。这一猜想对最小的5个费马数成立，于是费马宣称他找到了表示素数的公式。

$F_0 = 2^1 + 1 = 3$

$F_1 = 2^2 + 1 = 5$

$F_2 = 2^4 + 1 = 17$

$F_3 = 2^8 + 1 = 257$

$F_4 = {{2}^{16}} + 1 = 65537$

然而，欧拉在1732年否定了这一猜想，当 $n=5$ 时， ${{2}^{{{2}^{n}}}}+1={{2}^{32}}+1=641.times 6700417$ 。

${{2}^{32}}+1$

$={{2}^{4}}.times {{128}^{4}}+1$

$=(128.times 5-{{5}^{4}}+1).times {{128}^{4}}+1$

$=(128.times 5+1).times {{128}^{4}}+(1-{{128}^{4}}.times {{5}^{4}})$

$=(128.times 5+1).times [{{128}^{4}}+(1+{{128}^{2}}.times {{5}^{2}})(1-128.times 5)]$

$=641.times 6700417$

至此以后，人们再也没有从费马数中发现过素数，从而有人反过来猜想： $n.ge 5$ ， ${{2}^{{{2}^{n}}}}+1$ 都是合数。如果这一猜想被证明，那么说明费马的猜想确实错得离谱。

错得离谱的猜想还有不少，不过没有费马的猜想有名罢了。

如果用百度搜索迪波瓦尔，或用google搜索DeBouvelles，你会发现大部分链接都是指向一个猜想：对所有n≥1，6n+1和6n-1中至少有一个是质数。

也就是说，这位西班牙的兄弟，靠着这个猜想就名垂史册了。但可惜，这个猜想也是错的，估计他也只算了前面10多项。

n=20,6n-1=119=7×17,6n+1=121=11×11 n=24,6n-1=143=11×13,6n+1=145=5×29 n=31,6n-1=185=5×37,6n+1=187=11×17 n=34,6n-1=203=7×29,6n+1=205=5×41 n=36,6n-1=215=5×43,6n+1=217=7×31

伴随上述猜想的，往往还有下面这个证明题。

证明有无穷多个n使6n+1和6n-1同时为合数。

证明：取n=77k+20，则6n+1=11(42k+11)，6n-1=7(66k+17)，可见6n+1和6n-1同时为合数。

最后给出一个和孪生素数有关的小问题给大家操练操练。

孪生素数是指一对素数，它们之间相差2，例如3和5，5和7，11和13等都是孪生素数。是否存在无穷多对孪生素数。这是数论中未解决的一个重要问题。三胞胎素数是一类由三个连续素数组成的数组。

求所有满足条件的正整数 $n$ ，使得 $n$ 、 $n+2$ 、 $n+2$ 都是素数。

蛇足：有网友留言，希望我去看一下他孩子提出的3个数论猜想。

这个孩子很有天赋，如果他在武汉，我是愿意教他的。

猜想1.一个正整数，如果它的除了它自己以外的因数的和等于它自己，那么它的个位数是6或8。（本猜想已证明）

猜想2.不存在这么一个正整数，它的除它自己以外的因数和比它自己大1。（还没有证明）

猜想3. 2的合数次方减一，都是合数。

猜想1与完全数猜想有关，从目前已知的偶完全数而言，这个猜想是对的。前10个偶完全数：6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216。而奇完全数，目前还没有找到。如果他能证明完全数都是以6和8结尾，则否定了奇完全数的存在。这就解决了一个世界难题。

猜想2还是和完全数有关。在数论中，若一个正整数除了本身外之所有正因子之和比此数自身大，则称此数为过剩数。如果刚好大1，则称该数为准完美数。目前还没有发现准完美数。如果这个数存在，必是一个奇平方数，且大于10^50 ，且至少有7个素因子。见相关研究论文。