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切忌随意“同理可证”——以素数无穷多为例
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切忌随意“同理可证”——以素数无穷多为例
彭翕成 pxc417@126.com
武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079
如果要评选数学中的经典证明,欧几里德证明素数无穷多,应当能名列其中。尽管很多人熟知其内容，但仍然有详细给出的必要。
假设只有有限个素数
,
,……,
,令
,那么
是素数或是合数。
,,……,,令 ,那么是素数或是合数。 如果为素数,则由于大于
,所以它不在先前假设的素数集合中。
为素数,则由于大于,所以它不在先前假设的素数集合中。 如果为合数,则可以分解为几个素数的积；而
和的最大公约数是1,所以不可能被,,……,整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
为合数,则可以分解为几个素数的积；而和的最大公约数是1,所以不可能被,,……,整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。 因此无论是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以假设不成立,素数有无穷多个。
是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以假设不成立,素数有无穷多个。 上面证明论述清楚，但纸上得来终觉浅。如果我们再动手算一算，就会有更深的感受。假设只有素数2，那么
得到新素数3；
得到新素数7；
得到新素数43；
得到2个新素数13和139……这一过程可以继续下去。
得到新素数3；得到新素数7；得到新素数43；得到2个新素数13和139……这一过程可以继续下去。 素数无限多,除开2这个偶素数之外,其余都是
型或
型。那么型素数是不是也无穷多？可依葫芦画瓢来证明。
型或型。那么型素数是不是也无穷多？可依葫芦画瓢来证明。 求证： 型素数无穷多。
型素数无穷多。 证明：假设只有有限个型素数,,
,……,,令
（显然是奇数）,那么是素数或是合数。
型素数,,,……,,令（显然是奇数）,那么是素数或是合数。 如果为素数,则由于大于,所以它不在先前假设的素数集合中。
为素数,则由于大于,所以它不在先前假设的素数集合中。 如果为合数,则可以分解为几个素数的积；由于型素数相乘,只会得到型。说明
中必有形如的质因数,显然该因数与已有素因数,,……,不同。所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
为合数,则可以分解为几个素数的积；由于型素数相乘,只会得到型。说明中必有形如的质因数,显然该因数与已有素因数,,……,不同。所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。 因此无论是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以假设不成立,素数有无穷多个。
是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以假设不成立,素数有无穷多个。 同样地，我们动手算一算。假设只有素数3，那么
得到新素数11；
得到新素数131；
得到新素数17291；
得到新素数298995971；
得到新素数11；得到新素数131；得到新素数17291；得到新素数298995971； 
得到新素数8779,10079, 1010341471……这一过程可以继续下去。和欧几里德证法完全一样，只不过多一个手续：检验新得到素数是不是型，而这是有理论保证的。
型，而这是有理论保证的。 那是否同理可证型素数无穷多？已有成功经验在前，此处将改成，想来也应该差不多。某些资料就是这么做的，在证明型素数无穷多之后，虚晃一枪，写上同理可证型素数无穷多。真的是同理么？中间是否隐藏错误？
型素数无穷多？已有成功经验在前，此处将改成，想来也应该差不多。某些资料就是这么做的，在证明型素数无穷多之后，虚晃一枪，写上同理可证型素数无穷多。真的是同理么？中间是否隐藏错误？ 我们动手算一算。假设只有5这1个型素数，那么
，得不到与5不同的型新素数。又或者假设已经找到4个型素数：5,13,17,29，构造出
，也得不到新的型素数。也就是说，假设只有有限多型素数，不能保证能够找到新的型素数。
型素数，那么，得不到与5不同的型新素数。又或者假设已经找到4个型素数：5,13,17,29，构造出，也得不到新的型素数。也就是说，假设只有有限多型素数，不能保证能够找到新的型素数。 此时不能“同理可证”！因为型合数，一定含有型因数。而型合数，却不一定含有型因数，如。
型合数，一定含有型因数。而型合数，却不一定含有型因数，如。 类似问题还有：证明或证否：有无穷多
型素数，其中
是第
个素数。
型素数，其中是第个素数。 有些人可能觉得此题容易，因为他误认为一定是素数。造成这种错觉的原因是，欧几里德的证明很多资料上都有，传抄多了，难免有误，有些资料写得十分简略，一两行搞定，而一些人看书不仔细，就产生了误会。其实稍加试算就知道
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一定是素数。造成这种错觉的原因是，欧几里德的证明很多资料上都有，传抄多了，难免有误，有些资料写得十分简略，一两行搞定，而一些人看书不仔细，就产生了误会。其实稍加试算就知道。 此问题目前还是未解之难题，难在型素数特别少，先前几个是3,7,31,211,2311,200560490131,再接下来就是一个154位的天文数字。若模仿欧几里德证法来证此题，会遇到证型素数无穷多时的类似问题，从已有素数推不出符合要求的新素数。
型素数特别少，先前几个是3,7,31,211,2311,200560490131,再接下来就是一个154位的天文数字。若模仿欧几里德证法来证此题，会遇到证型素数无穷多时的类似问题，从已有素数推不出符合要求的新素数。 欧几里德的经典证明，可谓是数论中的一块基石，一方面说明了素数无穷多，进而引出型素数、型素数、型
素数是否无穷多，以及哥德巴赫猜想、孪生素数问题等许许多多的问题，如果素数有限，后面的问题就无从谈起。另一方面证明中的反证法、构造法也很给我们启
示：一般谋士为舍车保帅，全局牺牲局部；而反证法告诉我们先弃后取，置之死地而后生；而若有人怀疑某事物不存在，立马构造一个出来，让人心悦诚服。
型素数、型素数、型
素数是否无穷多，以及哥德巴赫猜想、孪生素数问题等许许多多的问题，如果素数有限，后面的问题就无从谈起。另一方面证明中的反证法、构造法也很给我们启
示：一般谋士为舍车保帅，全局牺牲局部；而反证法告诉我们先弃后取，置之死地而后生；而若有人怀疑某事物不存在，立马构造一个出来，让人心悦诚服。 需要指出，构造法有时只是理论上的构造，此处就属于这种情况。假设将已知的前一万个素数相乘再加1，所得必是天文数字，判断其是否为素数都十分困难，遑论分解。目前已知最大的素数是梅森素数
（有
位数），由GIMPS组织在2008年发现。
（有位数），由GIMPS组织在2008年发现。 曾有崇尚构造法的数学家挑剔欧几里得的构造法用得还不够完美，因为他在证明素数无穷多的时候并没有指出第n个素数如何确定的一般方法。笔者认为这过于苛求古人了。
而本文的探究则提醒我们，学习和模仿前辈数学家的经典证明，不能机械化地照搬，能否同理可证，关键还在于其中的“理”是不是相通，不能想当然，认为只是将减号改成加号应该也差不多，最好动手算一算，看会不会出现纰漏。
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