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三角平方数有多少个？

已有 9023 次阅读 2013-1-10 11:42 |系统分类:科普集锦| 三角平方数, 佩尔方程

三角平方数有多少个？
彭翕成 pxc417@126.com
武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079

我在博文《有趣的数论》中谈到三角平方数有多少个？并用佩尔方程求解。最近反思，那种解法是极其繁琐的。本来很简单就能解决的问题，我反而杀鸡用牛刀。本文将给出一个简证。

先回顾一下笨拙的解法。

数学中讲求数形结合。有些数可用图形来表示，如：三角数指的是可排列成三角形的数，前几项是1，3，6，10，15，21，28，36。平方数指的是可排列成正方形的数，前几项是1，4，16，25，36。容易发现1和36同在两列数中。请问这样的三角平方数有多少个呢？

    以下的思路是自然的。设平方数为 ${{m}^{2}}$ ，三角数为 $.frac{n(n+1)}{2}$ ，需证明 $.frac{n(n+1)}{2}={{m}^{2}}$ 有无数个整数解。
    好像无路可走了，尝试着将等式变形。该式可化为 $4n(n+1)+1=8{{m}^{2}}+1$ ，即 ${{(2n+1)}^{2}}=2{{(2m)}^{2}}+1$ 。

    突然间，豁然开朗。若设 $x=2n+1$ ， $y=2m$ ，得 ${{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=1$ ，这不就是佩尔方程么？此方程显然有解 $(3,2)$ ，即 ${{3}^{2}}-2.centerdot {{2}^{2}}=1$ ，即 $(3+2.sqrt{2})(3-2.sqrt{2})=1$ 。对该式两边平方 ${{(3+2.sqrt{2})}^{2}}{{(3-2.sqrt{2})}^{2}}=1$ ，即 $(17+12.sqrt{2})(17-12.sqrt{2})=1$ ，即 ${{17}^{2}}-2.centerdot {{12}^{2}}=1$ ，这样得到一组新的解 $(17,12)$ 。可继续对等式 $(3+2.sqrt{2})(3-2.sqrt{2})=1$ 两边进行自乘，得到新的解，这一过程可无休无止地进行下去。

    佩尔方程，我是见过多次的。在很多极其相似的初等数论教材中，我都看到：形如 ${{x}^{2}}-d{{y}^{2}}=1$ 的方程叫作佩尔方程，其中 $d$ 是固定的正整数且不是完全平方数。学了佩尔方程，原以为不过屠龙术而已，在此终于用上了一回，不亦快哉！

最近想到的简证：