中学教材没有给出样本空间的定义，所以随机变量也是描述性的，离散型随机变量也仅指取有限个值的情形，甚至不涉及可数的情形。这么处理自然有一定道理，因为中学阶段并不学习级数理论，理所当然不能介绍随机变量取可数个值时的概率分布。但作为教师，也许有必要搞清楚相关概念及其关系。

   教材中并未对离散随机变量细加追究，以至于给人一种感觉，样本空间有限或可数时，对应的随机变量是离散的。其实不然，离散性是相对于随机变量的取值而言的。举例来说，假设样本空间T是单位圆盘，T₁是以1/2为半径的同心圆，定义T上的随机变量为

X(a)=1, a 在T₁中，否则取值为0。这里X仅取两个值，它当然是离散的。

一个随机变量如果不是离散型的，它一定是连续型的吗？中学教材中没有介绍连续型随机变量，但教辅材料中则定义为取值充满一个区间的随机变量。如果按照这个定义，在离散型随机变量与连续型随机变量之外还存在第三种随机变量，即取值既不可数也不充满一个区间。例如，假设样本空间为单位区间[0,1]，G为[0,1]区间中著名的康托尔集，定义[0,1]上的随机变量为X(a)=a, a在G中，否则为0，则X的取值既没有充满任何区间，也不是可数的，事实上，X(a)的取值个数与实数一样多。

概率论中通常是对分布函数做分类，这是由分布函数的结构决定的，所谓连续型分布指的是随机变量的分布函数是一个绝对连续函数，而所谓的奇异分布则是指导数几乎处处等于零的分布函数。没有学习过实变函数的人对绝对连续函数与奇异函数可能比较陌生，《问题驱动的中学数学课堂教学（概率与统计卷）》对此有一个通俗的介绍，有兴趣者不妨一读。事实上，由勒贝格分解定理，任何分布函数都可以分解成绝对连续函数与奇异函数之和，这个定理称为分布函数的结构性定理。绝对连续函数有一个可积的密度函数（这里的可积指的是勒贝格积分），奇异函数不具有这样的形式。

中学教材中有奇异分布吗？有，而且很多，例如古典概型、超几何分布，分布列等，如果把他们的分布函数写出来，这些分布函数都是奇异的。以掷骰子为例，令

X(i)=i, i=1,2,3,4,5,6

则X是样本空间{1,2,3,4,5,6}上的随机变量，其分布函数F(x)为

F(x)=P(X(i)<x)

从这个式子似乎看不出所以然来，但如果我们引入一个特殊的函数就立马可以看出来了，这个函数就是鼎鼎大名的Heavside函数，Heavside是一个电器工程师，他发明这个函数的初衷是用在电路工程中，但这个函数为奇异函数提供了一个标准模型。记

H(x)=1，≥0,；H(x)=0, x<0,

不难看出，这个函数除了在0点不可导，在其它点处的导数均为0，所以他是一个非零的奇异函数。利用它与平移变换便可以表示掷骰子试验的分布函数：

F(x)=1/6[H(x-1)+H(x-2)+...+H(x-6)]

显然，这是个奇异函数。当然，除了有间断点的奇异函数，还有连续的奇异函数。