博客乎?茶馆乎?分享 http://blog.sciencenet.cn/u/gfcao 累时休整,烦时发泄, 闲时思考,乐时分享。

博文

函数与微积分(序)

已有 1532 次阅读 2022-8-10 08:20 |个人分类:教育改革|系统分类:图片百科

直到这套丛书最后一卷杀青甫就,才如释重负。在此需要感谢我的几位数学教育方向的博士,他们为这套丛书的撰写付出了不少劳动。如果没有他们博士阶段的工作积累,要在短短几年内完成这项工程不小的任务是不可想象的。

经历了过去二十多年的改革,中学数学内容已然发生了翻天覆地的变化。记得2000年在英国访问时,Lancaster大学的Stephone Power教授问我:“中国的中学是不是教授微积分?”那时我并没有深度介入中学数学,但我知道中学阶段虽然教授微积分,其时并未列入高考必考内容(似乎只有上海卷涉及微积分)。如今时过境迁,前不久,当我梳理高考内容时,发现“数列、函数、导数”已然占了高考三分之一以上的份量,如果将向量、概率与数理统计算上,已经占了高考数学内容的绝对优势。这让我不由自主地思考起一个问题:中学教师们准备好了吗?

这套丛书的撰写多少有些偶然,几年前,我把此书的理论与实践卷交给了清华大学出版社的刘颖博士,其时并未打算继续写下去。刘博士读了书稿后,建议我最好出一套丛书。犹豫再三,最终还是决定放手继续写。由于有师范专业的缘故,浸淫中学数学十多年,慢慢发现,随着课程内容的推陈出新,中学数学课堂大有可改进之处,借此机会出一套参考书供有缘人参考未尝不是一件好事。

虽然这不是官方指定的培训参考书,但仅凭零售便印刷了若干次已经证明了该书的价值。说明中学教师们需要这样的书,学生们也需要这样的书。

在拟定写作计划时,函数与微积分卷是包含了积分内容的,但新版教材删除了定积分内容,计划自然需要跟上变化,好在此卷在最后完成,可以作出适当调整。但微积分作为完整的理论体系,残缺不全终究是个遗憾,所以在历史的梳理过程中,我们并没有回避积分理论,只是案例设计中没有涉及积分内容。

读者在阅读本卷时可能会明显感觉到与教材的差异,这种差异并非体现在内容的广度,而在于内容体系与呈现方式。关于这一点,从案例的设计足可以看出来。例如我们在介绍三角函数时不仅限于正弦函数、余弦函数以及正切函数,而是把三角函数与反三角函数都提了一下,指出它们都属于基本初等函数类,但详细介绍则仅限于正弦函数、余弦函数及正切函数以便与教材一致。在介绍幂函数时也不仅仅限于有理指数的幂函数,还包括了一般实数指数幂函数,因为教材对于无理指数是有过介绍的(否则无法引入指数函数)。我们也特别强调一个函数在一点可导并不意味着可以通过其导函数来求值,这是有前提的,即导函数在某一点的极限存在时方可按此方法求该点的导数。这个结论在初学阶段固然不必理会,但老师不可不明白。

本书对概念的界定也力求严格,例如在处理函数的单调区间时,强调是使得函数单调的最大区间。按照这个定义,仅仅求出导函数的零点还不够,还需要进一步检验导数在零点的左右符号是否发生了变化。如果变化了,单调性自然变了,零点就构成单调区间的一个端点,否则就不是。例如考察y=x^3的单调性时,按照标准程序,可以对函数求导得y'=3x^2,令y'(x)=0,解得x_0=0。x_0=0将函数的定义域分成了两个区间:(-\infty 0)与(0,\infty),我们是不是可以说这个函数的单调区间为(-\infty 0)与(0,\infty)?显然不行,因为函数在整个实数域上都是单调递增的。还有一种情况也需要注意,那就是函数在某个点可能没有定义或者不可导,此时也需要将这些特殊点拿出来考察其左右两边导数符号是否发生了变化。例如y=1/x在x_0=0点没有定义,这时就需要分别考察导函数在(-\infty 0)与(0,\infty)上的符号,从而确定其单调性。又如y=|x|在零点不可导,但函数在零点左右的导数符号发生了变化,所以其单调区间也有两个:(-\infty 0)与(0,\infty)

讨论函数的导数不可能绕开极限,本书没有回避极限,甚至没有回避函数的连续性。与导数概念相比,无论是函数的极限还是连续性都不是晦涩难懂的概念,只要不涉及极限的严格语言,在不失严谨性的前提下通过通俗直观的解释完全可以让学生理解。对于这个问题,一线师生最有发言权,因为他们是真正的践行者,还是留待他们实践检验。当然,我们不主张中学阶段过度的拓展,例如有些老师将中值定理、罗必塔法则都一股脑教给了学生,因为有了这些定理与法则,很多问题的解决变得方便了许多。

       最后一章收录了最近若干年与数列、函数与导数内容有关的部 分试题供读者参考。囿于篇幅以及丛书风格的统一,本书不提供解 答。

在本套丛书告罄之际,向所有支持我们的读者表示衷心的感谢!曾有不少读者多次询问后续各卷的出版问题,正是读者们的敦促、鼓励与支持,才使得这套丛书得以顺利完成。如果这套丛书的出版能为中学数学教育事业产生哪怕是微弱的影响,我们的心血就没有白白付出。




https://blog.sciencenet.cn/blog-40247-1350618.html

上一篇:教学与科研不应该是两股道上跑的车
收藏 IP: 119.131.53.*| 热度|

15 郑永军 刘钢 康建 王安良 曹俊兴 徐长庆 胡泽春 郭战胜 左宋林 鲍海飞 杨正瓴 张学文 杨学祥 王涛 周忠浩

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (6 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-9-29 21:50

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部