函数是微积分研究的主要对象，最早提出函数概念的是莱布尼兹，不过他的定义有点模糊不清，后来莱布尼兹的学生贝努利将函数定义为“由某个变量及任意的常数结合而成的量。”这个定义是说函数应该能用一个式子来表示，它显得太狭义了，我们可以把它称之为函数概念发展的第一个阶段。欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”欧拉认为：“函数是随意画出的一条曲线．”大家对欧拉的定义有些不习惯，总觉得不用代数式表示的函数有些怪异，于是把可以用公式表示的函数称为“真函数”，不能用公式表示的函数称为“假函数”。最接近现代定义的函数概念是柯西给出的，他把函数定义为：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”这个定义与后来早期中学课本里的定义几乎是一样的。虽然此后仍然有一些数学家提出了新的见解，例如罗巴切夫斯基、狄里克莱都先后定义过函数概念。不过我觉得在所有这些定义中，柯西的定义最能反映函数的本质，狄里克莱的定义明确提出了函数与自变量之间有一个对应法则，的确改进了柯西的定义。这个时期可以称为函数概念发展的第二个阶段。十九世纪后半叶，康托尔的集合论出现了，人们又赋予函数新的定义，这就是现在中学课本里使用的定义，即利用集合之间的对应关系定义函数。这个时期可以称为函数概念发展的第三个阶段。

微积分能处理的函数是性质相对比较好的函数，虽然黎曼积分并非像非数学专业的教材《高等数学》那样赋予函数有界性限制，但黎曼积分的定义本身就对函数有了很强的要求，如果函数长得太丑就可能不可积了。判断函数的美丑需要先赋予一个标准，这个标准就是其连续的程度。换句话说，如果一个函数黎曼可积，它可以有多少间断点？这个问题曾是大家十分关心的问题，微积分自身是解决不了的，充其量只能讨论一些特殊的函数，给不了一般性结论，直到伟大的勒贝格积分出现后才能彻底搞清楚这个问题。

函数的间断点是一个很有意思的问题，数学家们围绕着这个问题绞尽脑汁构造了很多病态却很神奇的函数，其中之一便是狄里克莱函数。相信学过微积分的人都知道什么是狄里克莱函数，具体地说，它在有理点处取值为1，无理点处取值为0，这是个极其病态的函数，你画不出它的图像，只能通过示意图显示，它处处间断。估计大多数非数学专业的同学对这个怪物只了解这么多了。其实换一个角度看，狄里克莱函数也有它乖的一面，它既是个周期函数，又是个偶函数，还可以用解析式的极限来表示。如果把它放在实分析里，它简直乖得不得了，它是一类函数的特殊情形，这类函数是构成一般可测函数的基石：特征函数。不过它的周期与别的周期函数有所不同，在中学讲周期函数的周期时通常指函数的最小正周期，例如，y=sinx的最小正周期是2π，所以我们就说该函数的周期是2π，虽然2kπ(k是整数)都是它的周期。然而，狄里克莱函数却没有最小的正周期。所以以后别再跟人争论什么周期一定指最小正周期了，没那回事。

如何用代数式表示狄里克莱函数呢？可能有点出乎你的意外，它竟然是三角函数的极限：

D(x)=lim_k→∞lim_n→∞[cos(k!πx)]²ⁿ。

这里暂且卖个关子，谁能证明这件事？

 狄里克莱函数是个极端的例子，间断函数的另一个极端例子是只有一个间断点的函数，这类函数中有一个家伙鼎鼎大名，它不仅在数学上意义重大，在电路工程中也时常能见到它的身影，这货就是著名的赫维赛德(Heavside)函数。它是指当x>0时为1，x≤0时为0的函数。这个函数的物理模型在现实生活中随处可见，例如，当你打开家中电器开关的一瞬间将有电流通过，电器便开始运转了，这就是赫维赛德函数的典型物理模型。有人要质疑我了，都说数学是物理世界的模型，你咋反过来说？这有什么奇怪呢？数学家坐在家里闭门造车玩出来的东西一旦在现实中找到它的实例，谁能说这个实例不是数学的模型？或许叫原型更合适（当然我并不是说赫维赛德是个数学家，事实上，他应该是一个工程师）。如果能找到很多实例与数学家的这个东西类似，就可以反过来把数学家的发明称为某类现象的数学模型了。

 关于赫维赛德函数也有一个很有意思的问题：当你打开开关的一瞬间，电流强度是多少？它给我们什么启示？后者也许根据常识就能得出结论，但电流强度的计算却不是微积分能解决的，因为电流强度是关于电量的导数，如果你能独立自主地想到解决问题的办法，你跟索伯列夫一样伟大。

  两个伟大的人分别发明了两个极端的函数，处于“中间地带”的间断函数都长成啥样？有限个间断点的函数不难构造，能不能构造出具有无穷多间断点但并非处处间断的函数？这样的函数很多，例如单调函数就可以有无穷多个间断点，而且还是黎曼可积的，证明同样需要一点微积分之外的知识。还有一个函数也有无穷多个间断点，但它并非单调函数，这就是以最伟大数学家的名字命名的函数：黎曼函数。不过千万别与玄论里涉及的黎曼ζ-函数（黎曼猜想）混为一谈，它俩不搭嘎。黎曼函数没那么高深，它是指这样的函数R(x),当x是无理数时，R(x)=0，当x=q/p(既约分数)时，R(x)=1/p，这个函数在有理点间断，无理点连续，看上去与狄里克莱函数是不是有点像兄弟？但它俩的秉性完全不同，黎曼函数是一个乖巧的可积函数，狄里克莱函数则要比黎曼函数调皮得多，只有勒贝格才能对付它。

 数学给人的初步印象很严肃、很古板，但你一旦了解了她，会觉得它颇有点妙趣。