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四元数的引入及其应用

1.四元数的引入

在十九世纪初期，对所谓超复数的研究就曾风云一时.当时的代表人物是匈牙利的伯依阿依及英国的汉弥登，他们给出了复数理论的纯算术基础，即由实数对来建立复数.当时的数学界已经有许多可贵的理由要求数域再继续扩展下去.为此数学家们就希图沿着伯依阿依之路利用三个实数的数组或四个实数的数组等等去建立更为广义的新数域.他们总结了截至于复数域的一切数域的十个共性，也称为数域的十个条件即：①对于任意两个数，它们的和是唯一确定的；②对于任意两个数，它们的积是唯一确定的；③存在一个数零它具有性质：对于任意α，均有a+0=a；④对于每一个数a，均存在负数x，适合等式a+x=0；⑤加法适合交换律：a+b=b+a；⑥加法适合结合律：（a+b）+c=a+(b+c)；⑦乘法适合交换律：a·b=b·a；⑧乘法适合结合律：(a·b)·c=a·(b·c)；⑨乘法对加法适合分配律：a（b+c）=ab+ac；⑩对于每一a以及每一b≠0，存在唯一的数x，满足等式bx=a.围绕这十个条件，他们想求出超复数的乘法运算，使得超复数作为一个域，从而得到更广义的数域.但结果得出的仍然是通常的复数.

在这个研究过程中，他们得出一个重要的结论，即如果不改变上面的域的①～⑩的条件，欲建立一个广义的数域是不可能的.也就是说，新的数域必须放弃①～⑩中的某项或某几项才行.伯依阿依和汉弥登之路到了一个突破口上，但后来人们仅仅看到了他们失败的一面，而没有看到他们揭示的突破口——新数域的生命力建立在必须放弃以往全体数域的①～⑩条件中的一项或数项；反而出现了“复数占有完善而特殊的地位”的顶峰论，也称为复数域封闭论.

自从认识到复数运算等同于平面上一种点的演算体系，就有数学家提出这一问题：能不能找到一种空间数系，其中每一个三元数对应于空间中的一个点？首先数学家们希望新数系能尽可能多地保留复数的优美性质，并与原有代数理论保持和谐一致，同时人们自然也期望在新数系中能发现一些以前不曾有的东西.德国数学家高斯（Gauss）思索过，英国科学家哈密顿（Hamilton）研究过….但是在定义三元数的乘法时，却遇到了不可逾越的障碍，例如：乘法不能满足“模法则”和普通运算定律，而且无法明确的定出ij与ji的关系和其值，三元数的研究失败了.于是当时数学界转而证明三元数不存在，代表人物是魏尔斯脱拉斯(Weierstrass)，他在1861年证明了“一个代数系统如果服从乘积定律和乘法交换律，就是实数的代数和复数的代数"（此语引自《古今数学思想》），也就是说只能是一元数和二元数，不会是三元数.四元数的发现为费罗贝尼乌斯等人从结合代数的角度研究数系提供了一个标志性的范例.由此断定：实数域上的有限维结合代数如果没有零因子且满足交换律，则只有实数域及复数域；如果没有零因子且不满足交换律，则只有四元代数；实数域上的有限维可除代数只有实数域、复数域、四元代数及凯雷代数.

按照现代数学的观点，数集包括狭义数集与广义数集两大类，狭义数集包括复数与超复数，广义数集包括向量、矩阵等集合，其中超复数起源于四元数，在1828——1843年哈密尔顿为了物理学研究空间的需要，建立了一种对乘法运算不可交换的数集——四元数（又称超复数），其一般形式为ai+bj+ck+d，其中a、b、c、d为实数，i、j、k为虚单位，i²=j²=k²=－1，ij=k，jk=i，ki=j，ji=－k，kj=－i，ik=－j.哈密尔顿将四元数的纯虚部称为Vector，汉译矢量，其乘法规则类似于多项式乘法，但不满足交换律，设z₁=a₁i+b₁j+c₁k+d₁，z₂=a₂i+b₂j+c₂k+d₂，则

z₁z₂=－(a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂+d₁d₂)+(b₁c₂+a₁d₂+a₂d₁－b₂c₁)i+(c₁a₁－c₂a₁+b₁d₂+b₂d₁)j+(a₁b₂－a₂b₁+c₁d₂+d₁c₂)k.对于四元数ai+bj+ck+d而言，当b=c=0时，四元数便成为复数；当d=0时，ai+bj+ck代表三维向量，a、b、c分别为其在x轴、y轴、z轴上的分量，（a₁i+b₁j+c₁k）(a₂i+b₂j+c₂k)=－(a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂)+(b₁c₂－b₂c₁)i+(c₁a₁－c₂a₁)j+(a₁b₂－a₂b₁)k.后来人们对其分成两部分，(a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂)为数量积（标量积），(b₁c₂－b₂c₁)i+(c₁a₁－c₂a₁)j+(a₁b₂－a₂b₁)k为向量积（矢量积），并分别在物理学中找到了其应用；为了物理学研究空间的需要将其推广为n维，并且不满足乘法结合律.

2.四元数在物理学中的应用

四元数实际上有很多用处，一方面它是非交换环的一个例子，实际上是体（有加减乘除，乘法不交换），它在物理上用处大.四元数集上可以定义共轭，可以定义模长.哈密尔顿当年寻找四元数的动机本来是更简洁地描述力学和电磁学，后来的发展表明矢量分析更适合描述物理学，由三维世界矢量的四元数乘积引入了点乘和叉乘的概念.

与其说四元数是数学中的概念，倒不如说它是物理学中的光辉，当刚体力学不断完善和发展，刚体运动分析的理论问题和运动控制的实际问题与四元数居然完美契合，并且与旋转矩阵的运算与单位四元数的运算也是大同小异，所以物理学中很多应用都使用了四元数的概念和推广，四元数不再是空洞的理论，变成了有血有肉的丰富理论和实践体系.麦克斯韦从泰特那里学会了四元数，针对微分矢量运算发明了散度和旋度的概念，在1865年，他提出了一共包含20个变量的20个方程式，即著名的麦克斯韦方程组.他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功！三分量的普通四元数世界矢量被麦克斯韦和亥维赛德用于电磁学的表述，于是有了我们今天熟悉的麦克斯韦方程组的形式，吉布斯和亥维赛德由此各自独立地发展出了矢量分析，因而对四元数的研究渐渐只局限于纯数学的部分领域，成为非主流.笔者发现把四元数作为复数集的拓广不满足数集的扩展原则与扩展的必要性.

假如把四元数的集合研究成多维实数空间的话，四元数就表示为一个四维空间，相当于复数为二维空间.四元数是除环(除法环）的一个事例,除了不包含乘法的交换律以外，除法环与域是类似的.尤其是，乘法的结合律一直存在、非零元素一直是唯一的逆元素.四元数表示成一个在实数上的四维结合代数（实际上是除法代数），并且包括复数，但是不和复数形成结合代数.四元数（及其实数和复数）仅仅是有限维的实数结合除法代数.四元数的不可交换性通常致使一系列使人意外的结论，比如四元数的阶多项式可以有大于个不同的根.从20世纪中期以来，人们把复平面推行到四维空间后，察觉使用四元数和四元数矩阵能够解决实际中的许多问题.于是关于四元数和四元数矩阵的研究又被无数学者推到高潮，成为大家不断进行信息发掘的热点问题.

3.四元数体

第一个非交换的体是W.R.Hamilton在1843年给出的，叫做实四元数体，在同构意义下其矩阵形式可表述为，这里是复数域，是的共轭复数.因此，实四元数体是上的二阶全矩阵环的子体.当然，这里需要验证集合关于矩阵加、乘运算是一个体.例如，若,即，则容易证明非奇异，且.

设ℝ是实数域，记，

这里是虚数单位，则.

定义1^[1]：设是一个体，命,叫做体的中心.

命题1^[1]：体的中心是它的一个子域；特别地，.

定义2^[1]：一个域叫做形式实域，如果在中关系式仅当时成立.

命题2^[1]：设是一个形式数域，则

所示的关于加、乘运算是一个非交换体.

定理1^[1]：设是一个域，则所示的关于相应的加、乘运算是上的一个四元数体的充分且必要条件是F是一个形式数域.

命题3^[1]：设是一个形式实域，则.

定理2^[1]：设都是形式实域，则的充分且必要条件是.

定义3^[1]：由有理数域所嵌入的四元数体叫做有理四元数体.

定理3^[1]：有理四元数体是最小的四元数体.

证：设是任意的一个四元数体，因，则包含一个与有理数域同构的子域,显然.但是有理四元数体与同构，因而存在有理四元数体到的单射，故知它是最小的四元数体.

参考文献：

[1]李文亮.四元数矩阵[M].长沙：国防科技大学出版社，2002.06.

[2]《数学史概论》.〔美〕H.伊夫斯著欧阳绛译.山西人民出版社，1986年3月：458.

[3]《大学数学》.〔美〕E.克拉默著舒五昌，周仲良编译.复旦大学出版社，67～77.

[4]曹则贤.学得浅碎不如无——四元数、矢量分析与线性代数关系剖析.物理，2020（10）：681～687.