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集合中元素个数的再认识

李醒民等编科普书《10个震撼人心的科学发现》中百年集论名列各重大发现之首。有科普书将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）.“最伟大数学家”希尔伯特断言：任何人都不能推翻集合论.1908年著名数学和物理学家庞加莱超越时代地清醒坚信：不合实际违反科学常识的集论必是危害科学的病态理论.罗素悖论：集合论建立之初，未对集合的概念作什么限制.大家认为具有某个性质的事物全体就可构成一个集合，这是所谓的概括原理.但罗素指出，如果把集合分为两类：一类是不包含自身为元素的集合A，也就是说A具有性质P={x不属于x}；另一类是包含自身为元素的集合~A.现在的问题是A本身属于哪个集合？首先，若{A属于A}，即A是A的元素，那么由A的定义知{A不属于A}，这是一个矛盾；另一方面，若{A不属于A}，也就是说A具有性质P={A不属于A}，所以按定义又有{A属于A}，矛盾总是存在.科学特别是自然科学，最重要的目标之一，就是追寻科学本身的原动力，或日追寻其第一推动.同时，科学的这种追求精神本身，又成为社会发展和人类进步的一种最基本的推动.

康托尔悖论:有一个集合A的所有子集构成的集合叫A的幂集，容易证明n个元素的集合，其幂集有2n个元素.可以证明，幂集的基数（即元素个数）一定比原集的基数大.那么由所有事物组成的集合的基数呢？

这个悖论所揭示的是，作为数学概念的集合应有所限制，不是随便什么东西都可以构成一个集合的，否则会包含内在矛盾.原来的概括原理话说得太满了.对集合的构成加上合适的限制公理，消除上述矛盾，就是现在的公理化集合论.

康托尔悖论说明了不存在最大的基数，也就是说没有所谓的所有事物组成的最大集合.它也说明集合的构成必须加限制.在严格的领域里“敏感的话题要少说”，因为即使象神一样睿智也可能犯意想不到的错误.一些重大命题往往是几经周折才得以完善的.

怀德海认为：纯数学这门科学在其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造.现代数学都是建立在集合论基础之上的逻辑体系.当一个集合被赋予一组相容的基本性质和关系时，就定义了一个公理系统，例如一个群或一个空间.由这些基本的、往往是显而易见的性质和关系，通过严格的逻辑组合和推理，可得到许多并非显然的必然结果，这就是所谓的定理.例如著名的诺特定理：前提是物理系统的拉格朗日量在坐标系作平移变换时形式不变性，结论却是体系的能量动量守恒.所以逻辑推理并非是什么简单的‘同语反复’，而是客观因果联系的语言陈述.数学的真理性就在于它的逻辑相容性，而数学的有效性在于，只要验证某事物的性质符合某定理的前提，则结论就一定对.更有甚者：如果前提近似地符合，往往结论也近似成立.1908年著名数学和物理学家庞加莱超越时代地清醒坚信：不合实际违反科学常识的集合论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认“真理”的回天力.

雅克认为：上帝是一位算术家.经典的集合论认为元素的个数只能为自然数，但是有些理解比较困难，例如Φ-A+A=Φ+A=A，若按照结合律则得到Φ-A+A=Φ+（-A+A）=Φ，所以结合律不适用于集合的运算；另外模糊集合论中的元素不具有确定性.鉴于此，笔者建议对集合中元素的个数进行重新认识，元素的个数应该定义在实数集合上，譬如-A表示集合中尚缺A的元素个数个元素，即个数为负数，模糊集合论中元素的个数为分数或无理数.因此公式Φ-A=Φ可改为Φ-A=-A，A∪（-A）=Φ，集合的运算与数的运算便统一起来.