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数学归纳法的拓广

摘要：本文首先列出了正整数集上的数学归纳法的几中常见形式，写出了数学归纳法的逆否命题，接着将数学归纳法从正整数集逐步推广至复数集及其某些子集，然后指明数学归纳法的实质在于递推，在此基础上又将数学归纳法从等差数集推广至等比数集等良序集，最后又将数学归纳法从普通加法运算推广至一般抽象运算，这样便为数学命题的证明开辟了一条新的道路.另外，文章中还穿插举例说明了某些应用.

关键词：数学归纳法；拓广；递推；良序集；抽象运算

归纳问题也可以被表述为如何确立根据经验得出的全称陈述真理性的问题，经验科学的假说和理论系统就是这样的全称陈述.因为许多人相信这些全称陈述的真理性是“根据经验得知的”；但是观察或实验结果的经验的记述，首先只能是单称陈述，不能是全称陈述.因此人们说从经验得知一个全称陈述的真理性，意思常常是这样：我们能用某种方法把这个全称陈述的真理性还原为一些单称陈述的正确性，而这些单称陈述根据经验得知是真的；这就等于说：全称陈述是以归纳推理为基础的.因此问是否存在已知是真的自然定律不过是用另一种方法问归纳推理在逻辑上是否证明为正确.如果我们要设法证明归纳推理是正确的，我们就必须首先确立归纳原理.归纳原理是我们借以能把归纳推理纳入逻辑上可接受的形式中去的陈述.在归纳逻辑拥护者的眼里，归纳原理对科学方法来说是极重要的.Reichenbach说：“……这个原理决定科学理论的其理性.从科学中排除这个原理就等于剥夺了科学决定其理论的真伪的能力.显然，没有这个原理，科学就不再有权利将它的理论和诗人的幻想的、任意的创作区别开来了.”庞加勒在讲到数学归纳法的作用时指出:“棋手能预料四五步棋,不管他多么非凡,他也只能准备有限步棋,假使把他的本领用于算术,他也不能凭借单一的直觉直接洞察算术的普遍原理,为了获得最普遍的定理,他也不得不借助于递推原理,因为这是能使我们从有限向无限延伸的工具.”如果我们不能从有限走向无限,证明一个定理对一切自然数都成立,就得不到普遍定理.

一、数学归纳法的历史回顾

在16世纪晚期,数学归纳法开始出现在代数中.1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1575）在他的著作《算术》中就提出了这种方法,并证明了,虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底,例如经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎,但是可以说莫洛里克斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家,一般认为,历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）,1654年帕斯卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整数时的二项式展开式的系数公式,从而得到有名的帕斯卡三角阵,最终由意大利数学家皮亚诺(Peano,1858～1932)奠定了逻辑基础,这是人们公认的数学归纳法的历史.事实上,早在古希腊的欧几里德(Eulid,公元前300年)时代,数学归纳法的思想就有所萌芽.他在证明“素数个数无穷“时,就认为:若有n个素数,就必有n+1个素数;既第一个素数,素数个数必无穷.尽管他论证过程中的递归推理不甚明显,但基本上是按照递归推理原理指导的.欧几里德以后,递归思想曾在级数求和等问题上得到过应用,遗憾的是没有人明确的提出这个方法.

最先明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的人，是法国数学家B·帕斯卡(Pascal,1623-1662).在他的《论算术三角形》(1645)中用数学归纳法证明了“帕斯卡三角形”(二项展开式系数表，中国称为“贾宪三角形”，是宋代贾宪于11世纪最先提出的)等命题，其中，帕斯卡最先清晰而明确地指出了数学归纳法的第一、二两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理，由于当时还没有表示正整数的数学符号，所以引理是用文字表述的.而“数学归纳法”这一专业术语,是英国数学家德摩根(DeMorgan，1806～1871)于1838年在他的《小百科全书》中提出并延用至今的.正是由于这一名称,偶见有人认为数学归纳法是一种归纳方法的说法，这可以说是“望文生义”的结果.其实数学归纳法是演绎推理,这是由其实质所决定的.但往往，数学归纳法是与归纳法联合使用的，这就是所谓的“数学补充”.归纳常用于猜想，而数学归纳法是用于证明的.这就构成了“归纳—猜想—证明”的解题方法.1893年，意大利数学家G·皮亚诺(Peano,1858-1932)建立了正整数(原为正整数)的公理体系，他把数学归纳法作为一条公理(称为“递归公理”或“数学归纳法公理”)纳入他的正整数公理系统之中.其形式一般为:“如果一个由正整数组成的集合S包含有1，又如果S包含有某一数a就必然也包含有a的后继(即a+l)，则S就包含所有的正整数.”

二、正整数集上的数学归纳法

GD.伯克霍夫认为：整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉.数学归纳法是证明正整数集上的命题的一种重要论证方法，许多数学命题利用其他数学方法很难证明或根本无法证明，但利用数学归纳法会很容易地得到解决.数学归纳法的理论根据是正整数的序数理论，而且为了证明命题的需要演变成了多种形式，下面列出几种常见形式：

2.1第一数学归纳法原理

如果关于正整数n的命题p（n）满足：①（奠基）p(n)在n=1时成立；②（归纳）在p(k)成立的假定下，可以推出p(k+1)成立.则p(n)对于所有正整数n都成立.

推论1：设p(n)是关于正整数n(n≥n₁,n∈N)的命题，若①p(n)在n=n₁时成立.；②在p(k)(k≥n₁)成立的前提下，可以推出p(k+1)成立，则p(n)对于不小于n₁的正整数n都成立.

推论2：设p(n)是关于正整数n的命题，若①p(n)在n=1,2,….,n时成立；②在p(k)(k∈N)成立的前提下，可以推出p(k+1)成立，则p(n)对于一切正整数n都成立.

2.2第二数学归纳法原理

设p(n)是关于正整数n的命题，若①p(n)在n=1时成立；②在p(n)对满足n≦k(k∈N)都成立的假定下，可以推出p(k+1)成立，则p(n)对于所有正整数n都成立.

2.3反向归纳法（倒退归纳法）

设p(n)是关于正整数n的命题，若①p(n)对无穷多个正整数n成立；②在p(k+1)成立的假定下，可以推出p(k)成立，则p(n)对任意正整数n都成立

2.4螺旋式归纳法

对两个与正整数有关的命题，，①验证时成立；②假设成立，能推出成立，假设成立，能推出成立.综合①②，对一切正整数,，都成立.

2.5跳跃归纳法

验证（2）假设成立，并在此基础上，推出成立，综合（1）（2）对一切正整数,命题都成立.

2.6双重归纳法

当然数学归纳法的形式还有很多，有兴趣的读者可参阅其他有关书籍.下面我们思考另一个问题：

我们知道，任何一个命题都与它的逆否命题等价，当一个命题很难证明时，我们可以通过证明它的逆否命题成立来说明原命题成立，因此数学归纳法也可以写出其逆否命题.下面以第一数学归纳法为例写出数学归纳法的逆否命题，其他形式的逆否命题从略.

2.7第一数学归纳法的逆否命题

如果关于正整数n的命题p(n)满足①（奠基）p(n)在n=1时成立；②（归纳）在p(k)(k≥2)不成立的假定下，可以推出p(k+1)不成立，则p(n)对于所有的正整数n都成立

2.8正整数集上数学归纳法的理论根据

数学归纳法通常是证明与正整数集有关命题的一种重要的论证方法，许多数学命题利用其它数学方法很难证明或者根本无法证明，但利用数学归纳法很容易解决.数学归纳法的理论根据是正整数集的序数理论，为了证明命题的需要而演变成了多种形式，同时将数学归纳法从正整数集推广至所有良序集.

定义1：设A≠φ，A⊆R,如A满足①0∈A；②x∈A有x+1∈A.则称A为一归纳集.

定理1：自然数集是任意归纳集的子集

证明：设X是任意归纳集,N是自然数集,所谓归纳集满足如下性质:⑴0属于X,⑵如果n属于X,则必有n+1(n的后继)属于X.自然数集N满足如下Peano公理:⑴0属于N.⑵如果n属于N,则必有n+1属于N.⑶如果有N的子集S,具有性质(i)0属于S,(ii)如果n属于S,有n+1属于S,则必有S=N.由Peano公理⑴⑵可知N是归纳集,由⑶可知N是最小归纳集,故可推知任何自然数n仅有有限个先驱,假设N不是X的子集,则必存在n属于N,但n不属于X,由n不属于X,则n-1(n的先驱)不属于X,依次类推,0也不属于X,这与X是归纳集矛盾,故自然数集是任意归纳集的子集.

定义2：设S是一个集合，≤是S中一个二元关系，满足①对任何x∈S有x≤x;②对任何x、y∈S有x≤y且y≤x可得x＝y;③对任何x、y、z∈S有x≤y且y≤z可得x≤z，④对任何x、y∈S均有x≤y或y≤x;⑤若S的任何非空子集有最小元.则称S是良序集.

超限归纳法原理：设（S，≤）是一个良序集，P（x）是与元素x∈S有关的一个命题，①如果对于S中的最小元a₀，P（a₀）成立；②假定对于任何x＜a,Ｐ（ｘ）成立，可证明Ｐ(a)也成立.则P(x)对任何x∈S都成立.

根据上面的理论，集合Ｍ＝｛n₀,n₀+1,n₀+2,······｝，n₀∈Z,对于普通数的大小是良序的，因此类似于正整数集也可以列出数学归纳法的各种形式．整数集与实数集对于普通数的大小不是良序的，但可对其重新规定序使其成为良序集，不过有时给证明命题带来很大困难．倘若我们从另一个角度审视数学归纳法会发现数学归纳法的理论根据是正整数集的序数理论，其实质在于递推．

例1试证：任意大于7的自然数均可表为若干个3与若干个5之和（若干个包括零个）.

证明：1）当=8，9,10时，命题成立，由8=5+3,9=3+3+3,10=5+3知命题成立.

2）假设时命题成立，则当时，只需再加一个3即可，显然成立.

综合1）、2）知原命题成立.

上例递推跨度为3，起点验证也需要三个.

例2求证：对一切自然数，不定方程都有正整数解.

证明：当时，取；当，取，故知命题在和2时成立.

假设当时，令，就有

知它们恰为方程的一组正整数解.所以当时，命题也成立.则对一切自然数不定方程都有正整数解.

对上述两个例题，如果硬性规定跨度为1，则作茧自缚，而通过加大跳跃跨度，则大大降低了归纳难度.

例3设数列{}满足关系式：1），2），试证数列的通项公式为.（加拿大数学竞赛试题）

分析：显然满足通项公式，但因，

与，，…，都有关，如果仍设，就显得不够用了.如果改设“对一切，都有”，问题即可解决.

因为由

即可知也满足通项公式.

在上面的论证中，仅仅改变了假设的方式，而这种改变并未造成逻辑上的不合理，相反，却有利于归纳过渡，因而是十分可取的.

以“假设，时成立”代替“假设时成立”

有时也会碰到一些问题，它们的归纳需要依赖于前面两个命题同时成立，这时就应当用“假设，时成立”来代替通常的“假设时成立”.不过这样一来，起点也应增多为两个，否则，后面所作的假设就变得没有依据，整个论证也就变得不可信了.

例4设与是方程的两个根，试证对任何自然数，都是整数，但不是5的倍数.

证明：为了便于使用归纳法，我们先来推导一下递推关系.由韦达定理知：，因而就有：

故知，

即有.

又当时，

当时，

故知当与2时，都是整数且不为5的倍数，现假设，时，也都是整数，于是由递推关系式

可知当时，也是整数.所以对一切自然数，都是整数.

为证都不是5的倍数，以记其被5除所得的余数，于是由已证部分知，且由递推公式知.再证{}是一个循环数列，循环节是6.事实上，我们有

于是有.

从而知{}是以6作为循环节的循环数列.于是可以算出：

它们都不为0，这样我们就证明了对一切自然数，都不是5的倍数.

在本例论证的前一部分——是整数中，就采用了“与时，是整数”的假设形式，以便于利用递推公式顺利进行完成归纳过渡.这种假设形式，在论证数列问题时较为常用.但在使用时应注意对起点数作相应的增多.

三、整数集上的数学归纳法原理

定义3：任何一个非空集合Ｚ的元素叫做整数，如果在这个集合里的所有元素之间有两种基本关系―＂前继＂与＂后继＂满足下面的公理：①对任何一个数a，存在着且仅存在者一个后继数a'与前继数'a；②任何数只能是一个数的后继数与另一个数的前继数；③存在a∈Ｎ，且a∈Ｚ；④（归纳公理）设Z有一个子集M，满足条件（Ⅰ）Z₀∈M,且Z₀∈Z；（Ⅱ）若a∈M，有^,a∈M，a^,∈M.则M=Z.

1.第一数学归纳法原理：设有一个关于整数集Z的命题p(Z),①若存在Z₀∈Z，p（Z₀）成立；②若p(k)成立，则p(k+1)与p(k-1)均成立.那么对于任意整数Z，p(Z)都成立.

证明：设M是使命题p（Z）成立的整数集合，于是：①因为存在Z₀∈Z，p（Z₀）成立，故得Z₀∈M：②因为假定p(k)成立的条件下，能推出p(k+1)与p(k-1)成立，即由k∈M能推出^,k∈M,k^,∈M.因此集合M具有整数定义中归纳公理的条件①②,由归纳公理得M=Z.故p(Z)对于任意整数Z都成立.

2.第二数学归纳法原理：设有一个关于整数Z命题p(Z).①若存在Z₀∈Z，p(Z₀)成立；②设Z₀≤x＜k₁,若p(x)成立，则p(k₁)成立；③设k₂＜x≤Z₀,若p(x)成立，则p(k₂)成立.那么p(Z)对于任意整数Z均成立.注：k₁与k₂为整数.

证明：假设p（Z）不是对于所有整数均成立，根据整数集的序数理论，可以找到一个整数Z₁，不妨设Z₁≥k₁(当Z₁≤k₁时，证明类似)，使p(Z₁)不成立，而p(Z₁-1)成立.根据归纳假设--由p(x)，k₁≤x＜Z₁-1成立，得p(Z₁)成立.这与前面的假设相矛盾.故p(Z)对于任意整数均成立.

数学归纳法可以应用于整数集的实质在于整数集中相邻两数的差为定值1，那么它也可以应用于其它公差为定值或公差为统一公式的数集，例如集合M=｛n₀,n₀-1,n₀-2,…｝，n₀∈Z.奇数集或偶数集也可以建立其序数理论，方法及证明类似于整数集，只不过将k±1变为k±2即可.

综上所述，数学归纳法可以应用于整数集及其某些子集，而数论主要是研究整数性质的，所以数学归纳法的拓广可能有助于数论的研究，例如可以把某些关于正整数的命题推广至整数集等.下面举例说明数学归纳法在整数集中的应用.

例5  求证：对于任意整数x，f(x)=0.2x⁵+1/3x³+7/15x是一个整数.

证明：①当x=0时，f(x)=0命题成立.②假定当x=k时命题成立，即f(k)=0.2k⁵+1/3k³+7/15k为整数,则当x=k±1时f(k±1)=0.2(k±1)⁵+1/3(k±1)³+7/15(k±1)=(k⁵/5+k³/3+7k/15)±k⁴+2k³+3k²+4k±1∈Z.这说明当x=k±1时命题成立.由①②可知，对于任意整数x，原命题均成立.

下面笔者举出几例，作为引玉之砖.

①当n为任何非负偶数时，xⁿ-1都可以被x+1整除；当n为任何非负偶数时，xⁿ+1都可以被x+1整除.

②n³+5n能被6整除（n∈Z）.

③若x∈Z,x³+2x+3y=0,则y∈Z.

④已知：x+x^-1=2cosθ.求证：xⁿ+x^-n=2cosnθ,n∈Z.

四、有理数集上的数学归纳法

既然数学归纳法可以应用于整数集及其某些子集，而任何一个有理数均可以表示为的形式，因此可以分两步进行归纳.下面以第一数学归纳法原理为例说明一下，其他形式（包括其逆否命题），而且可以混用，即归纳分子和归纳分母可以采取不同的形式.

先归纳分子，后归纳分母——第一数学归纳法原理：设有一个关于有理数集Q的命题p（Q），存在z₀∈Z，命题p（z₀）成立；若假设p（k）成立，则p（k+1）与p（k-1）均成立；任取m∈Z，若p（成立，则p（成立.那么对于任意有理数Q，命题p（Q）均成立.

先归纳分母，后归纳分子——第一数学归纳法原理：设有一个关于有理数集Q的命题p（Q），命题p（1）成立；若假设p（成立，则p（成立；任取k∈N*，若p（（m∈Z）成立，则p（和p（成立.那么对于任意有理数Q，命题p（Q）均成立.

证明：㈠先归纳分子，后归纳分母

由上述归纳法可知：⑴因为存在z₀∈Z，命题p（z₀）成立；若假设p（k）成立，则p（k+1）与p（k-1）均成立，所以P(Q)对于所有的整数成立.

⑵因为任取m∈Z，若p（成立，则p（成立，所以分母无论为正整数P(Q)都成立.

故P(Q)对于所有有理数都成立.

㈡先归纳分母，后归纳分子

由上述归纳法可知：⑴因为命题p（1）成立；若假设p（成立，则p（成立，所以对于正整数k，p（都成立.

⑵任取k∈N*，若p（（m∈Z）成立，则p（和p（成立，即对于任意整数m，p（都成立.故P(Q)对于所有有理数都成立.

例6如果对一切实数和，等式=+成立，试证对一切有理数，有=

证：令=，则由已知条件有：=+=2，=+=3

用数学归纳法可证，对一切正整数有=

另外，对正分数（互质且>1）有：===

=.令==0，有=2=0

接着令=，有+=0=

同理，对负数（互质且>0,>1）有：=

因此，可知对一切有理数命题成立.

五、实数集上的数学归纳法

由于数学归纳法可以应用于有理数集，因此可以利用极限方法证明实数集上的命题.利用双重归纳法可以通过归纳实部、虚部或者极径、极角来证明复数集上的命题.

在运用数学归纳法证明有关整数集上的命题时，初始值取一个数，若将初始值变为一个区间（开区间或者闭区间），则可证明实数集上的某些命题.下面列出实数集上的第一数学归纳法原理，其它形式及证明从略.

第一数学归纳法原理：设p(R)是一个关于实数集的命题.若存在R₁，R₂∈R，在［R₁，R₂］上命题p(R)成立；若假设p(k)成立，能推出p(k±L)成立，其中0＜L≤R₂-R₁,则p(R)对于所有实数均成立.

［注］若将闭区间改为开区间或半开半闭区间，0＜L＜R₂-R₁.这种方法本质上是一种跳跃归纳法.

例8已知：a∈R*，求证：f(a)=a⁸-a⁵+a²-a+1＞0

证明：①若a∈[0，1]，则a²≥a⁵,f(a)=(1-a)+(a²-a⁵)+a⁸＞0，命题成立.

②设k∈R*，若f(k)=k⁸-k⁵+k²-k+1＞0，

则f(k+1)=(k+1)⁸-(k+1)⁵+(k+1)²-(k+1)+1=(k⁸-k⁵+k²-k+1)+8k⁷+28k⁶+56k⁵+65k⁴+56k³+18k²+5k＞0

∴对于任意a∈R*，f(a)＞0

例9运用数学归纳法证明：2^m＞2m+1,（m∈R,m≥3）.

证明：①当m∈[3，3.5）时，左边=2^m≥8，右边=2m+1＜8，命题成立.

②假设当m=k是命题成立，即2^k＞2k+1,那么当m=k+0.5时，2^k+0.5＞（2k+1）2^0.5=（2k+1）+（2^0.5-1）（2k+1）.

因为（2k+1）＞3，所以（2^0.5-1）（2k+1）＞1，即2^k+0.5＞2（k+0.5）+1.命题成立.由①②可知，2^m＞2m+1,（m∈R,m≥3）.

注：也可以利用实数的阿基米德性质，先证明命题在(0,a)上成立，假设命题在(0,ka)成立，推出命题在(0,(k+1)a)上成立，这样在(0,+∞)上命题都成立，类似的方法证明命题在（-∞，0］成立即可.

例10运用数学归纳法证明：2^m＞m，m∈R

证明：①当m≤0时显然成立；②当m∈[0，1）时，2^m≥1，不等式成立；

③当m∈[1，2）时，2^m≥2，不等式成立；④假设当m=k是命题成立，即2^k＞k,那么当m=k+1时，2^k+1＞2k≥k+1.因此原不等式成立.

例11求证：2^x>x²,.

证明：

时，,这就证明了时,不等式成立.

假设当时,不等式成立，则当时，据假设,有,又,于是，这就证明了当时,不等式成立.

根据归纳原理,对时,不等式恒成立.

这里的连续区间，还可进一步推广为更一般的数集情形：

第一步是验证当时命题成立.

第二步假设当时命题成立,推出时命题成立，根据归纳原理,得到命题对或对成立．

前面我们所讨论的数集都是对加法或减法构成递推数集，实际上数学归纳法不仅应用于这些数集，任何一个集合（不一定是数集）去掉有限个元素（包括0个）后，通过某种运算，能使该集合的若干个元素之间具有递推性，原则上也可以利用数学归纳法原理证明,例如双等差数集与集合M={2⁰,2¹,2²,…,2ⁿ,…}.因此数论中有些猜想至今没有证明，或许可以构造一种新型运算，使集合中的元素具有递推性，从而得到解决.通过推广数学归纳法还可将某些集合上的命题拓广.下面列出一般集合上的第一数学归纳法原理，其它形式略.

第一数学归纳法原理：设命题P是关于集合M上的命题，集合M去掉有限个（包括0个）使命题P成立的元素后，得到集合M′ ={a₁,a₂,…,a_n,……}.通过构造某种运算*，使得集合M′ ={a₁,a₂,…,a_n,……}中的元素具有如下关系：a₁*q=a₂,a₂*q=a₃,…,a_n-1*q=a_n,…….若P(a₁)成立,在假定P(a_k)成立的条件下,可以推出P(a_k+1)成立.那么命题P对于集合M中的任何元素都成立.

注:1.运算*可以是代数运算或者超越运算,也可以是一般的抽象运算.

2.元素可以属于集合M,也可以不属于M,譬如正整数集中1∈N^*,奇数集中2不属于奇数集.

3.当上述方法还是无法证明时,可以考虑数学归纳法的其它形式或其逆否命题,也可以分成几个集合,定义不同运算分别进行归纳,各种形式的数学归纳法可以混合使用.另外也可以去掉有限个元素后,使其具有递推性,但去掉的元素应单独证明.

4.集合M可以是数集，也可以是一般集合，一定注意构造某种运算，使其具有递推性，也就是使其成为良序集.

定义4：设S是一个集合，≤是S中一个二元关系，满足①对任何x∈S有x≤x；②对任何x、y∈S有x≤y且y≤x可得x=y；③对任何x、y、z∈S有x≤y且y≤z可得x≤z；④对任何x、y∈S均有x≤y或y≤x；⑤若S的任何非空子集有最小元.则称S是良序集.

5.超限归纳法原理：设（S，≤）是一个良序集，P(x)是与元素x∈S有关的一个命题，①如果对于S中的最小元a₀,P(a₀)成立；②假定对于任何x＜a，P(x)成立，可证明P(a)也成立.则P(x)对任何x∈S都成立.

对于数学归纳法的深入研究，重在运用它去解决或证明一些问题，在社会生活和自然科学中有着极其广泛的应用.

六、关于连续归纳法

上面在实数集上的数学归纳法与当前张景中院士等研究的连续归纳法不完全相同，下面列出当前主流对于连续归纳法的认识.

一、几种常见的连续归纳法及其证明

定理2（连续归纳法）：

定理3（新形式的连续归纳法）：

为证明定理1和定理2，先给出戴德金定理.

戴德金分割

以下证明定理1和定理2.

定理4（第二连续归纳法）：

定理5：

证明略.

二、连续归纳法的应用

参考文献：

[1]胡冠章.《应用近世代数》,清华大学出版社,1993年版,25页—27页.

[2][美]G·波利亚著，李心灿、王日爽、李志尧译.《数学猜想》第一卷，数学中的归纳与类比，科学出版社，1987年8月版，118页—132页.

[3]张景中.连续归纳法与一般归纳原理[J].四川教育学院学报，1986(1):1—8.

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[5]李涛,张景中.连续归纳法的新证明及其应用举例[J].科技导报，2012,30(17):54—55.

[6]张景中,冯勇.有序集的一般归纳原理和连续归纳法[J].科技导报,2008,26(6):24—27.