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环的定义的扩充
摘要:本文对环的定义作了几种扩充,的出了一些新的概念,加深了对环的认识.
环是具有两种代数运算的集合,这两种运算满足一定的关系:对于一种运算构成加群,对另一种运算构成半群,两种运算之间满足分配律.但现实世界与科学研究中会出现这样的集合:具有两种代数运算,但是两种运算并不完全满足上述关系,为此必须对环的定义进一步拓广.下面给出几个定义,至于这些概念的应用及其性质的探讨,本文从略.
定义1:一个集合R叫做一个半环,假如①R对于一个叫做加法的代数运算来说是封闭的,并且满足结合律;②R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是封闭的,并且满足结合律;③两个分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca,不管b、a、c是R的哪三个元.
注:若两种代数运算均满足交换律,称为加半环;若乘法满足交换律,称为乘法加半环.
定义2:一个集合R叫做一个亏环,假如①R对于一个叫做加法的代数运算来说构成一个群;②R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是封闭的,并且满足结合律;③两个分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca,不管b、a、c是R的哪三个元.
定义3:一个集合R叫做一个加环,①假如R是一个加群,即R对于一个叫做加法的代数运算构成一个交换群;②R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是封闭的,并且满足结合律和交换律;③两个分配律成立之一——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca,不管b、a、c是R的哪三个元.
定义4:一个集合R叫做一个盈环,①假如R是一个加群,即R对于一个叫做加法的代数运算构成一个交换群;②R对于另一个叫做乘法的代数运算构成一个群;③两个分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca,不管b、a、c是R的哪三个元.
定义5:一个集合R叫做一个自然环,假如①R对于一个叫做加法的代数运算构成一个群;②R对于一个叫做乘法的代数运算构成一个群;③两个分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca,不管b、a、c是R的哪三个元.
定义6:一个集合R叫做一个加盈环,①假如R对于一个叫做加法的代数运算构成一个加群;②R对于另一个叫做乘法的代数运算构成一个加群;③两个分配律成立之一——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca,不管b、a、c是R的哪三个元.
定义7:一个集合R叫做一个亏加环,①假如R对于一个叫做加法的代数运算构成一个群;②R对于另一个叫做乘法的代数运算封闭,并且满足交换律与结合律;③两个分配律成立之一——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca,不管b、a、c是R的哪三个元.
上面仅列出几种形式,至于其它形式,本文从略.
卢斯卡认为:“多数的数学创造是直觉的结果,对事实多少有点儿直接的知觉或快速是理解,而与任何冗长的或形式的推理过程无关.”
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