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不变子群与理想关系初探
数学是研究结构的科学,数学的客观性必须同物理学的客观性区分开,也必须同现象描述的客观性区分开.一方面,这意味着一些结构被认为与它们在现实客体的出现无关,因此数学的客观性是一个现象学的客观性.另一方面,我们研究的数学结构与感觉现象所特有的复杂情况毫无共同之处.因此更容易概念化.关于这一点,我们可以这样说,数学研究的结构是理想化的结构.
不变子群的名称实际上通常叫做正规子群.正规子群和理想定义的引出因为他们是群(或者环)同态的核的形式.
理想在环论中的地位与不变子群在群论中的地位相似,但理想与不变子群有着本质的差异,为此先列出这两个定义:
不变子群的定义:一个群G的一个子群N叫做一个不变子群,假如对于G的每一个元a来说,都有Na=aN.
理想的定义:环R的一个非空子集合ц叫做一个理想子环,简称理想,假如(1)由a,b∈ц得a-b∈ц;(2)由a∈ц,r∈ц得ar,ra∈ц.
通过比较便可以清晰地看到它们的区别,在不变子群中要求:(1)任取a∈G,Na=aN,而在理想中则要求任取r∈R,任取a∈ц得ar,ra∈ц.显然在不变子群中任取a∈G,任取r∈N,ar,ra不一定属于N,譬如G=S3,N={(1),(123),(132)}是一个不变子群,N(12)={(12),(23),(13)},(12)N={(12),(13),(23)},N(12)=(12)N,但(12)、(13)、(23)均不属于N.同理,当环R为非交换环,且环R有真理想时,也推不出{ra}={ar},任取r∈R,a∈ц.鉴于此,笔者建议再定义理想子群与不变子环,从而进一步认识不变子群与理想的区别.
不变子环的定义:环R的一个非空子集N叫做一个不变子环,或正规子环,假如(1)由a,b∈N得a-b∈N;(2)由a∈N,b∈N得ab∈N;(3)任取r∈R,rN=Nr.
理想子群的定义:一个群G的一个子群N叫做一个理想子群,假如任取r∈G,任取a∈N得ar,ra∈N.
西尔维斯特曾经说过:“也许我可以并非不适当地要求获得数学上亚当这一称号,因为我相信数学理性创造物由我命名(已经流行通用)比起同时代其它数学家加在一起还要多……”
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