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对于四元数的异议

摘要:从数集的扩展原则与必要性出发，阐明了哈密尔顿四元数不能作为复数集的拓广，从而将向量乘法与普通乘法区别开来.

关键词：四元数；异议；数集的扩展原则；向量乘法；普通乘法

一.四元数作为复数集的拓广不满足数集扩展的必要性

有理数域是有序的但非完备的，实数域是有序且完备的.在保持有序又完备的要求下，实数域已经不能再扩张，即可证明精确有序同构，正好存在一个完备的有序域，序拓扑是有理数域及实数域的最自然的拓扑结构.由于复数域不是有序域，因而没有这种自然的序拓扑，但当引进复数的模，即把它距离化之后，就引进了复数域的一个拓扑（平面上的常用拓扑）.在这种拓扑结构下，复数域是一个完备域.因为复数的模式实数的绝对值的自然扩张，因而实数的序拓扑可以看成这个拓扑的一个子拓扑.正是由于这一点关于实分析的事实便可以自然而然地推广到复数域上去.反之，复分析解决了实分析中一些不清楚或者难以解决的问题.因而可以说复数域是保持了实数域的完备性要求而放弃了有序性要求的一个扩张.

对应原理的方法论意义不限于量子理论的发展，对应性是属性或关系范畴，包含对立和同一的类比性内涵,具有整体类比的意义.因此现代科学发展中新旧理论之间也普遍存在这种极限条件下的类比对应关系，这一原理也对提出新的理论和模型具有重要的启示和选择作用,为科学创新提出了一种制约性的要求,即任何理论的发展都必须是逻辑自洽的.数集的每一次扩展，总是由于原来的数集与解决具体问题的矛盾而引起的，这些问题有的是首先从实际中提出的，有些则是从数学本身首先提出的.为了使除法、减法运算封闭，从正整数集先后扩展到正有理数集合、有理数集合；为了表示无限不循环小数，引进了无理数，从有理数集合扩展到实数集；为了使开方运算封闭，引进了虚数，从实数集扩展到复数集.在复数集中加、减、乘、除、乘方、开方等所有代数运算都已封闭.退一步讲，假设四元数是复数集的拓广，那么开方运算失去意义，例如：∵i²=j²=k²=－1，∴－1的平方根至少有6个——±i、±j、±k，其实一个四元数的n次方根有无数个解，这样将使开方运算变为无定解运算.因此四元数域不应当看成数域的自然扩张.1970年以后世界慢慢步入计算机时代，学科间就不断进行了整合，由于计算机的丰富性，所以很多以前不被理解和重视的理论又迎来了它们的春天，但是四元数也有它自身的局限性，四元数矩阵右特征值存在无限性，然而左特征值又存在不确定性，这些都阻碍了四元数的发展，并且在计算方面四元数矩阵也是繁琐的，所以四元数的研究的也是充满了困难.科学的创新精神常常表现为对旧的传统观念的激烈冲击、批判和抗争，但变革创新并非毁灭传统，科学既是一种批判性、革命性很强的文化形态，也是继承性、积极性很强的文化形态.因此玻尔及其对应原理堪称肯定传统理论中的真理成分及其价值，关注并解决新旧理论之间的继承关系的典范和构建物理理论的重要科学方法.历史的辩证的方法也表明:“今天被认为是合乎真理的认识都有它隐藏着的，以后会显露出来的错误的方面”.从对应原理我们可以得到这样的启迪，科学的发展过程是不断发现问题，排除错误，通近正确认识的无止境的过程.是从常规科学经历反常和危机而引发的科学革命，再形成新的常规科学的无限演进过程.

二.把四元数作为复数集的拓广不满足数集的扩展原则　

2.1.根据数集的扩展——原数集作为新数集的特例，原数集里的原有运算法则依然成立，即对应原理成立.

当数集拓广至复数集后，人们迅速发现其在物理学中的应用——可以表示平面向量及其加减运算.但是复数的乘法与向量的乘法有着本质的区别，复数集对于乘法封闭且满足交换律，平面内向量的向量积是一个空间向量，数量积是一个标量，运算不封闭.复数的乘法有逆运算——除法，也有乘方、开方、指数、对数等运算，而向量的数量积、向量积、混合积、实数与向量的积等都没有定义逆运算，也没有乘方、开方、指数、对数运算等，因此为了研究物理学中向量乘法而拓广复数集是没有必要的，表示向量乘法与普通乘法的符号亦应区别开来，不必定义i²=j²=k²=－1.向量运算不同于代数运算，没有必要将其纳入代数运算.

若将三维向量表示为a+bi+cj，数量积与向量积分别用“.”与“×”表示，(a₁+b₁i+c₁j).(a₂+b₂i+c₂j)=a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂，(a₁+b₁i+c₁j)×(a₂+b₂i+c₂j)=(b₁c₂－b₂c₁)+(c₁a₂－c₂a₁)i+(a₁b₂－a₂b₁)j，从而把向量乘法与普通乘法区别开来，又能作为复数集的拓广.其实这样做对表示向量乘法非常妥当，但它会使普通乘法出现矛盾，复数集对于普通乘法已经封闭，乘积中出现的ij、ji无论怎样定义都会出现矛盾，而且与普通乘法的符号不加区别会造成混乱.

数是客观事物“量”的抽象，客观事物的多样性决定了数的种类的多样性；运算是客观事物“相互联系”的抽象，客观事物相互联系、相互作用的多样性决定了运算类的多样性.既然数及其运算是客观存在的，就一定存在其自身的发展规.我们只能对它们去认识而不能去约定.这就应遵循“认识论”的法则，即循环往复地由“特殊”到“一般”，再由“一般”到“特殊”逐步扩大对事物的认识.而且，数系的拓广与运算类的扩充这二者必然密切联系起来方可走上正路.

2.2.在向量ai+bj+ck中i、j、k的意义与复数a+bi中的i意义不同

在三维向量ai+bj+ck中i、j、k是为了区分向量在x轴、y轴、z轴上的分量而作的标记，可以规定i²=j²=k²=1等，但在复数a+bi中的i有着特殊的含义：i²=－1.在四元数ai+bj+ck+d中，当d=0时表示三维向量，a、b、c分别代表在x轴、y轴、z轴上的分量，因此当c=0时，二维向量应为ai+bj，a、b分别代表在x轴、y轴上的分量，但单位不一致，前者为i、j，后者为1、i，而i²=j²=－1≠1，因此这本身就具有一种不协调性.

历史上看，哈密顿提出四元数是由于数学界在三元数问题上的困惑而产生的，当时就有两派观点：到底四元数有用还是由它分离出的向量分析有用？当时的工程师们拥护后者，认为四元数用处不大；四元数不是自然规律的产物而是人为的约定！而任何数学上的约定必需有强的“公信度”才行，更重要的是这个约定要由实践检验其正确性.四元数理论的根本缺陷是建立在这个数域上的函数缺少解析条件，解析条件是函数论的心脏，如果函数论缺少解析条件的话，不能成为一门数学.哈密顿工作的意义在于发现了向量的运算理论以及三元数目前没有引入的必要.

麦克斯韦在《电磁通论》这本书中写到：“在这个过渡时期，使用两种语言的方法可以把理论介绍和解释得更完美…但是他现在使用两种语言处理时，令人感到麻烦的是，至少可以发现AB的平方在笛卡尔系统中总是正的，而在四元数中却总是负的，并且当这个东西被偶然提及时你不知道它说的是哪一种语言…这也是不便的，比如说，当你讨论动能时为确保它是正值，必须插入一个符号.”麦克斯韦利用四元数表示电磁学方程组不成功，而矢量分析成功，就说明了四元数不是复数集的推广.

综上所述，历史上看哈宻顿提出四元数是由于数学界在三元数问题上的困惑而产生的.当时就有两派观点：到底四元数有用还是由它分离出的向量分析有用？当时的工程师们拥护后者，认为四元数用处不大；四元数的给出不是自然规律的产物而是人为的约定！而任何数学上的约定必需有强的“公信度”才行，更重要的是这个约定要由实践检验其正确性.四元数理论的根本缺陷是建立在这个数域上的函数缺少解析条件.解析条件是函数论的心脏，如果复变函数论缺少解析条件的话，不能成为一门数学吗.复数的乘法与向量的乘法有着本质的区别，哈密尔顿的四元数不能作为复数集的拓广，只不过他找到了向量的乘法法则.

三、向量乘法的表示

3.1.三维向量表示

为了满足数集的扩展原则，笔者建议取消四元数，直接定义向量乘法.三维向量表示为ai+bj+ck，为了与复数乘法相区别，定义i.i=j.j=k.k=1，这样可以避免运算结果中出现负号，其它的规则不变.a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂表示数量积（标量积），满足交换律；(b₁c₂－b₂c₁)i+(c₁a₂－c₂a₁)j+(a₁b₂－a₂b₁)k表示向量积（矢量积），不满足交换律.一句话狭义数集只包含复数集.

3.2四维向量的表示

在物理学和数学中，一个n个数的序列可以被理解为一个n维空间中的位置.当n=4时，所有这样的位置的集合就叫做四维空间.这种空间与我们熟悉并在其中居住的三维空间不同，因为它多一个维数.这个额外的维数既可以理解成时间，也可以直接理解为空间的第四维，即第四空间维数.第四维数可以用空间的方式理解，即一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性”的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方向的空间.这种空间就是数学家们用来研究四维几何物体的空间，与爱因斯坦提出的时间作为第四维数的理论不同.关于这一点，考克斯特曾写道：把时间作为第四维数带来的好处即使有的话也是微不足道的.实际上，H.G.威尔在《时间机器》中发展的这种十分吸引人的观点导致了J.W.杜恩（《时间实验》）等作者对相对论的非常错误的理解.闵可夫斯基的时空几何是不符合欧几里得体系的，所以也就与当前的研究没有关系.---H.S.M.考克斯特,RegularPolytopes.

在我们熟悉的三维空间里，有三对主要方向：上下（高度），南北（纬度），东西（经度）.这三对方向两两正交，也就是说它们两两成直角.从数学方面讲，它们在三条不同的坐标轴x、y、z上.计算机图形学中讲的深度缓冲指的就是这条z轴，在计算机的二维屏幕上代表深度.纯空间性的四维空间另有一对垂直于其他三个主要方向的主要方向.这一对方向处在另一条同时垂直于x、y、z轴的坐标轴上，通常称作w轴.对这两个方向的命名，人们的看法不一，一些现行的命名有安娜/卡塔、斯皮希图/斯帕提图、维因/维奥和宇普西龙/德尔塔.这些额外的方向处于（实际上是垂直于）我们所能观察到的三维世界中的方向之外.当人们说到“四维空间”时，经常指的都是关于时间的概念.这其实是一种误解,关于时间的概念的“四维空间”被命名为“四维时空”.在这种情况下，“四维空间”可以理解为三维空间附加一条时间轴.这种空间叫做闵可夫斯基时空或“(3+1)-空间”.这也是爱因斯坦在他的广义相对论和狭义相对论中提及的四维时空概念.可以去这么理解，首先一维就是一条线.时间也可以看做时间线.你把一个长宽高的3维坐标世界无限缩小到一个点，然后让它（这个点，既三维世界）沿着时间轴方向运动（既时间流逝），这个就称为4维.

当然，如果时间是有枝节的，就想科幻里说的的有N种过去或者N种未来的，也就是我们3维这个点在平面或者更高的级别运动.那么有可能我们的世界的空间是4维度及以上.同样有一种说法，将四维空间理解为可扭曲的三维空间.将一张纸比喻为二维，它的无限叠加则为三维，那么将这张纸进行弯曲，同样可以出现三维效果.以此推断，三维空间的扭曲是否就是四维？当然，它的扭曲方向不能限于其本身的长、宽、高.按照一般的理解，时间是普遍所认知的第四维元素，如果四维空间中时间可发生扭曲，无数小说和电影中所描述的穿越时空极可能会成为现实.但是也有少数人有所质疑，如果二维空间也有生物存在，那么它们的生命发展过程也应有时间的存在，按照时间为第四维的说法推断，二维生物有可能会认为三维空间是由长、宽、时间组成，但事实上并非如此.

四维向量（a，b，c，d）表示为ai+bj+ck+dt，由于空间是双向，时间是单向，所以i.i=j.j=k.k=1，t.t=-1，t为时间轴的基底，这样就容易理解闵可夫斯基的四维时空距离了.空间与时空都是矢量，空间是其三维都可有正、反双向的矢量，时间是一维单向的矢量.

3.3四维向量物理的背景

在牛顿力学中空间和时间起着双重作用.第一，空间和时间起着所发生的物理事件的载体或框架的作用，相对于此载体或框架，事件是由其空间坐标和时间来描述的.原则上物质被看作是由“质点”所组成，质点的运动构成物理事件.倘若我们要把物质看作是连续的，我们只能在人们不愿意或不能够描述物质的分立结构的情况下暂时作这样的假定，在这种情况下，物质的微小部分（体积元）同样可以当作质点来处理；至少我们可以在只考运动而不考虑此刻不可能或者没有必要归之于运动的那些事件（例如温度变化、化学过程）的范围内照这样来处理.空间和时间的第二个作用是当作一种“惯性系”.在可以设想的所有参考系中，惯性系被认为具有这样的好处，就是惯性定律对于惯性系是有效的.不依赖于主观认识的“物理实在”是由空时（为一方）以及与空时作相对运动的永远存在的质点（为另一方）所构成（至少在原则上是这样）.这个关于空时独立存在的观点，可以用这种断然的说法来表达，如果物质消失了，空时本身（作为表演物理事件的一种舞台）仍将依然存在.

在经典的体制中，场的概念是在物质被看作连续体的情况中作为一种辅助性的概念而出来的.在考虑固体的热传导时，物体的状态是由物体每一点在每一个确定时刻的温度来描述的.在数学方法上，这就是意味着将温度T表示为温度场，亦即表示为空间坐标的时间t的一个数学表示式（或函数）.热传导定律被表述为一种局部关系（微分方程），基中包括热传导的所有特殊情况.这里，温度就是场的概念的一个简单的例子.这是一个量（或量的复合），是坐标和时间的函数.另一个例子就是对液体运动的描述.在每一个点上每一时刻都有一个速度，其值即由该速度对于一个坐标系的轴的三个“分量”来加以描述（矢量）.这里，在每一个点的速度的各个分量（场分量）也是坐标（x,y,z）和时间（t）的函数.

首先我们必须注意不要认为实在世界的四维性是狭义相对论第一次提出的新看法.甚至早在红典物理学中，事件就由四个数来确定）即三个空间坐标和一个时间坐标；因此全部物理“事件”被认为是寓存于一个四维连续流形中的.但是，根据经典力学，这个四维连续区客观地分割为一维的时间和三维的空间两部分，而只有三维空间才存在着同时的事件.一切惯性系都作了同样的分割.两个确定的事件相对于一个惯性系的同时性也就含有途向个事件相对手一切惯性系的同时性，狭义相对论的合法则与此不同.所有与一个选定的事件同时的诸事件就一个特定的惯性系而言确实是存在的，但是这不再能说成为与惯性系的选择无关的了的了.于是四维连续区不再能够客观地分割为两个部分，而是整个连续区包含了所有同时事件；所以“此刻”对于具有空间广延性的世界失去了它的客观意义.由于这一点，如果要表未客观关系的意义而不带有不必要的国袭的任意性话，那末空间和时间必须看作是具有客观上不可分割性的一个四维连续区.

迈克尔逊光学实验表明：三维空间矢量牵引运动必然的伽利略变换不成立，引起经典物理学的危机，由相对论打破“绝对时间”观念，采用“闽可夫斯基矢量”，表达物体的时空位置，就很好的地符合实验，解决了问题.狭义相对论揭示了一切惯性系的物理等效性，因而也就证明了关于静正的以太的假设是不能成立的、因此必须放弃将电磁场看作物质载体的一种状态的观点.这样，场就成为物理描述中不能再加分解的基本概念，正如在牛顿的理论中物质概念不能再加分解一样.在狭义相对论中自然律也是仅在引用惯性系作为空时描述的基础时才是有效的.惯性原理和光速恒定原理只有对于一个惯性系才是有效的.场定律也是只有对于惯性系才能说是有意义和有效的.因此如同在经典力学中一样，在狭义相对论中空间也是表述物理实在的一个独立部分.如果我们设想把物质和场移走，那么惯性空间（或者说得更确切些，这个空间连同联系在一起的时间）依然存在.这个四维结构（闵可夫斯基空间）被看作是物质和场的载体.各惯性空间连同联系在一起的时间，只是由线性起来的一种特选的四维坐标系.由于在这个四维结构中不再存在着客观地代表“此刻”的作一部分，事物的发生和生成的概念并不是完全用不着了，而是更为复杂化了，因此将物理实在看作一个四维存在，而不是象直到目前为止那样，将它看作一个三维存在的进化，似乎更加自然些.

狭义相对论的这个刚性四维空间，在某种程度上类似于洛化兹的刚性三维以太，只不过它是四维的罢了.对于狭义相对论而言，物理状态的描述假设了空间是原来就已经给定的，而且是独立存在的.因此连狭义相对论也没有消除笛卡儿对“空虚空间”是独立存在的或者竟然是先验性存在的这种见解所表示的怀疑这里作初步讨论的真正目的就是要说明广义相对论在多大的程度上解决了这些疑问.

四.结束语

在传统的数学运算中，加法、减法被称为一级运算，乘法、除法被称为二级运算，指数、对数被称为三级运算。然而，是否存在更高级的运算，取决于具体的数学领域和问题。在某些高级数学和数学分支中，可能会有更复杂的运算和操作。例如在微积分中有导数、积分等运算；在代数学中，可能会涉及到更高级的代数结构和运算；在概率论中，有期望值、方差等运算。此外，随着数学的发展和新的研究领域的出现，可能会引入新的运算和概念。例如在现代数学的一些领域中，可能会有矩阵运算、张量运算、微分方程的求解等更复杂的操作。然而，具体是否存在更高级的运算，以及这些运算的定义和性质，会因数学领域和具体问题而异。不同的学科和研究方向可能会有自己特定的运算和操作。需要注意的是，运算的级别和复杂性是相对的，并且随着数学的发展和新的概念的引入，可能会有新的运算被定义和研究。

复数从提及到承认其合理性历经100多年，由复数的巨大理论和实践意义可以说，数学史上最严重的危机是在这100多年，故而复数的发现使实数观念发生了危机，这是第四次数学危机.数学之所以完美是因为数学有一个完备的复数系统；复数系统之所以完备是因为它的元素数不仅仅是一个记号，而且源于人类对自然界的抽象，带有宇宙的最基本信息，魏尔斯脱拉斯的“一个代数系如果服从乘积定律和乘法交换律，就是实数的代数和复数的代数".新数集应是自然规律的产物，而不应是人为的约定；新数集的结论或保持与较低一级数集一致，或者为低数集的推广，数学发展的方向就是运算类的扩充与数域的拓广.可见数学美不是人类构造出来的，而是完美宇宙的真实映象.寻找宇宙的最基本信息是重要的，因为它有助于我们发现表达“适用于一切事物的理论”的数学形式，反过来，我们也可以从宇宙的最基本信息出发去思考宇宙的造化.吴健雄认为：“进步道路上的绊脚石是，也一向是不容怀疑的传统.”科学美是指在各种科学方法及科学理论中所蕴含着的众多美的形态(方式、结构、图象等)和美的价值，它是从科学研究的层面上所反射的现实美的光辉及其美的价值的统一体.自然界是美的，正确反映自然界运动规律的科学理论也必然是美的.在历史上，以追求理论的完美结构作为自已科学创造的原动力的科学家不乏其人，因此美的因素不但反映在科学理论的内容上，也渗透在科学理论体系的结构和表述之中.虽然科学理沦不具备具体形象，但科学家在欣赏某一科学理论所产生的美感，不亚于艺术家欣赏一艺术作曲或或自然某一奇观时所产生的快感.彭加勒在谈沦数学美时曾作过这样的生动描述：“数学家由此获得类似于绘画和音乐所给予的乐趣.⋯⋯他们惊叹不已，他们感到美的特征，尽管感官没有参与.他们难道不乐在其中吗?”显然数学家之所以乐在其中，盖因科学美使然.