概略：数学思想的演化

武汉理工大学：刘永红

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严格地说，数学是一种思想的演化，我们追溯到史前，那时，人们自发地组织起来共同分享食物，人们对天空的星星充满了好奇，于是发明了数的概念。“数”向人类知识领域渗透，并为人类物资生产和日常生活作贡献。因此，数学牢固地确立了它作为人类文明的基础地位。

英国数学家、逻辑学家德·摩根（De Morgan）有力地说：“人类的早期思维就已涉及数学，思维史教给我们如何去发现错误，而其中尤其要注意数学史。”他提醒人们重视数学，所以学习数学或从事数学研究的人要正确地理解和把握数学思想。

奥古斯都·德·摩根(Augustus De Morgan，1806─1871)，英国数学家、逻辑学家。

但是，有关数学思想的经典著作却不多，而美国数学史家克莱因（M. Kline）的名著《古今数学思想》（1972）就是这方面的经典之作，其特点：突出了数学发展的思想方法，又可作为数学入门的书。这本书奠定了他在数学史上举足轻重的地位。

莫里斯·克莱因(Morris Kline,1908-1992)，美国数学史家、数学哲学家。

数学博大精深！要想全面而深入地理解和把握20世纪的数学绝非轻而易举。但是，一些大数学家对数学思想的贡献无论其大小都是可贵的。人们发现有些数学家只为某一想法而耗费了毕生的精力，甚至这种想法纯粹为了与他人有所不同；还有一些数学家则为了满足自己的精神欲望。

众所周知，20世纪数学的主流是结构数学，它占了纯粹数学1/4江山。有鉴如此，我们来看一看结构数学中的李群与李代数的发展概略。我们先说一下它的概念：李群，又可称为可微群，它是代数结构和几何结构的自然结合体，它同时具有群和微分流形的结构，而李代数则是李群结构的线性化。“李代数”这个术语是1934年由德国数学家外尔（Weyl）引进的。

马里乌斯·索菲斯·李(Marius Sophus Lie, 1842─1899)，挪威数学家。

赫尔曼·外尔(Hermann Weyl，1885─1955)，德国数学家、物理学家。

近百年来，李群与李代数理论得到巨大发展。实际上，李群思想由不同年代不同数学家共同发现，最早是Lie在1873年创立的概念，但仍然不清楚李定义的群是通过解析变换来定义，至少也要可微变换。随着抽象代数学和拓扑学的发展，数学家们对李群概念进行了广泛而深入地研究，普遍认为李群身兼三任：一是解析流形；二是拓扑空间；三是群。它由拓扑空间和群的自然结合形成了拓扑群。事实上，最接近李群的是局部紧拓扑群。重要的是，数学家冯·诺依曼首先证明了局部欧氏紧群是李群。然而，对其一般化的问题的研究并不顺利，直到1951年由三位美国数学家格里森（A. Gleason），摩哥马利（D. Montgomery）和齐平（L. Zippin）才解决了这个问题。

约翰·冯·诺依曼(John von Neumann，1903─1957)，匈牙利犹太裔美籍数学家、

计算机科学家、物理学家和化学家。

虽然现代数学的中心从欧洲转移到了美国，但是，俄罗斯从来就是数学高手，非等闲之辈也。例如，前苏联著名数学家庞特里亚金（Л. С. Понтрягин）的专著《НEΠΡΕΡЬІВНЬІΕ ΓΡУППЬІ》（连续群）（1938，54年版）对此作了精彩的总结。这本书分上下两册：上册是拓扑群；下册是李群，其中文版本由曹锡华译，科学出版社出版（1957，58年版）。

列夫·庞特里亚金(Л. С. Понтрягин，英文名字Lev Semenovich Pontryagin，

1908─1988)，前苏联俄罗斯数学家。

《连续群》Л. С. Понтрягин著 图片来源于刘永红用手机拍照

顺便说一下，庞特里亚金的一生充满了数学传奇色彩。他13岁时因事故导致双目失明，17岁由于成绩优异，被保送至他梦寐以求的莫斯科大学数学物理系，这时候他的近50岁的母亲陪伴着他，一边打工一边给他朗读英文数学论文和抄写笔记。他凭借令人惊叹的坚韧的精神和对数学的热爱，终成一代大师。

言归正题。

李群结构的线性化是李的基本想法，让群也可微分，而微分就是在无穷小的层面的线性化，这个新的群结构是李的一个了不起的成就。因此，我们把这种线性的“无穷小群”的结构叫做Lie代数。经过一个世纪，特别是19世纪末和20世纪的前叶，由于德国数学家威廉·基灵（W. K. J. Killing）、法国数学家嘉当（E. J. Caftan）、德国数学家外尔（H. Weyl）等人卓有成效的工作，Lie代数本身的理论才得到完善。具体而言，Caftan在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。Caftan和Killing都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，并且Caftan还构造出这些例外代数。Caftan和Weyl用表示论来研究Lie代数。

在美国《数学评论》上，记载了笔者建立的逻辑代数与Lie代数关系的研究成果。除此之外，还记载了笔者在数论、密码学等方面的研究成果。有趣的是，英国和印度联合出版的数学、物理丛书收录笔者多篇数学、物理学术论文。在此不娓娓道来。是的，我有所思故，结在深喉处。

总之，结构数学是很抽象的，如果不了解他们数学思想的来龙去脉，是很难有什么建树的，这是数学家们的共识。我认为，搞数学研究，如果不与抽象代数挂钩，那就感到不好意思说出口了。