无论在数学层面还是在哲学层面，实无限和潜无限观的争论都有着悠久的历史。我不敢奢望能够在一篇短文中能把问题说得很清楚，仅试图通过一些反例说明并非任何无限过程都是实无限过程。

康托把实无限过程定义为已经完成的无限过程，既然过程已经完成，自然就已经达到了终点，反之亦然，因此，实无限的充分必要条件是其终点已经达到。根据该条件有时更容易做判断。

先观察一些最简单的描述无限过程的无限集合

{0.3，0.33,0.333,…,1/3}                       (a)

{3.1，3.14，3.141,…,π}                       (b)

{1,2,3,…}                                     (c)

(a)的终点1/3似乎已经达到，但该无限过程实际上是根据终点1/3反推出来的，因此终点1/3是否是通过无限过程达到的恐怕还是个问题。

(b)的终点（精确的圆周率）至少到目前为止还没有达到，且很可能永远达不到。因此，至少到目前，还不能把（b）看作是实无限。

严格的数学命题不允许存在任何反例，因此，反例（b）的存在至少说明不能认为任何无限都是实无限过程。

既然存在反例，像康托那样硬要把（c）也看作是一个实无限是否还有必要？如果（c）是实无限，其终点是什么？一万？一亿？还是一万亿？

为此，康托引入了一个数ω，其定义是比任何自然数都大的数，这样，似乎自然数

1，2，3，…ω                                                   （d）

就可以终止于ω了。

然而，根据ω的定义可知，ω本身并不是自然数，所以不能写在自然数里面，去掉ω后又变回（c），问题解决了吗？而且，即使把它看作一个自然数，这个数要大到何种程度才算达到终点？一万？一亿？还是一万亿？如果再大也终止不了（d），不正说明（d）也是终止不了的吗？

可见，并不存在这个终点。

如果一个过程的终点是一个并不存在的数，那么，不是正好证明了该过程不存在终点？

其实，（c）的潜无限性是再显而易见不过的，以为改变一个事物的表达形式就可以改变事物的本质，恐怕也太过浪漫了吧！

数学推导需要绝对的严格，任何一点点的不严格或随意都可能在推理的长链上被不断地放大最后造成塌方式的错误。

以上都只是一些最简单的例子。还有一些例子其实也很典型，只是比较复杂。比如说，我已经证明，一切集合就不可能用实无限来描述（见上一篇关于罗素悖论和康托悖论的文章），再比如，一根有限长度的直线，上面有无限多个点，直线似乎已经定型，所以通常认为是典型的实无限。

直线真的可以定型吗？如果定型，又是怎样定型的？

绝大多数人可能都会回答：大小为零的点距离为零地排成直线，不就定型了吗？

假定两个点A和B之间距离|A-B|=0,则显然A=B，即两个点实际上是同一个点，同理，如果无限多个点A,B,C,….之间的距离都等于零，则可证A=B=C=….，即这无限多个点实际上是一个点，哪来的直线？

所以，点之间的距离不可能是零，但如果是有限小，有限长度上的点集就变成有限集了。所以，如果仍然认为该点集是无限集，唯一的可能是点之间的距离是无限小。然而这样一来，总可在两个点之间插入新的点，这样的无限过程是能够完成的吗？

这个问题扩展开去，事情就大了，几乎所有的数学系教材都要重新改写，不过，并不会越改越复杂，相反会越改越简单和直观。比如说，不再需要什么可数无限个零相加等于零而不可数无限个零相加可能不等于零之类既不显然也也无法证明的东西来作为侧度论的基础了。其实，有时事情本来就很简单，只是因为没有正确认识，才会弄得很复杂，这里就不展开了。

或许还会有人想，虽然实无限并不是普遍成立，我人为规定它是普遍成立的又怎么样？数学完全可以建立在想象和人为规定的基础上而不管实际情况究竟如何。非欧几何的平行公理不就是这样的吗？从现实问题中解放出来，不是可以让数学更加自由、更富创造性吗？

数学要走这条路，只要逻辑上能够自洽，自然也是可以走下去的，问题在于，这样的数学还有没有实际意义？就以非欧几何来说，要不是非欧几何正好歪打正着地在相对论那里找到了用途，人们恐怕迟早会把它们忘了。因此，即使是非欧几何也并没有脱离相对论这个实际问题。而且，数学的成就不能总是建立在这种歪打可能正好正着的小概率事件上吧！

 既然希望解决现实问题，就不能无视现实而必须面对现实，才有可能解决现实问题。如果无视现实，自己搞一套，打一个比方，比如规定人可以穿越，可以复活，恐怕就只能停留在游戏或幻想小说层面上了，未必有现实意义。

当然，以现实为依据的适当想象有时还是有用的。比如说在物理学中，实际气体分子之间是有作用力的，分子本身也有大小，计算起来都比较复杂，于是就想像气体是没有大小没有作用力的质点，计算起来就十分方便了。但应该注意这是以实际气体为原型的近似想象，是有误差的，尽管在高温低压时误差很小，在高压低温时误差就很大了。比如说，对水蒸气来说，由于分子之间的引力，常压下低于摄氏100度会变成液体水，哪里还能看成没有引力也没有大小的质点？所以说，想象不能完全脱离实际地天马行空。

数学也是这样，比如，我们可以想象圆周率是几乎可以达到的，但并不能因此认为我们已经达到了圆周率。因此，认为圆周率可以在数轴上表示为一个没有大小的、位置确定的点只是一种想象，与实际情况是有差距的。

如果想象和事实相差十万八千里，这个想象就毫无价值了，例如（d）的w与实际情况的差距要多大就有多大，没有意义。

由于实无限是已经完成的无限，因此已经不再变化，研究起来当然会比较方便，所以希望无限是实无限是可以理解的。但严格的科学态度不能把希望当现实，或把希望强加于现实。

以上写了那么一大堆，至少说明了这样一点：实无限并不是普遍成立的。其实，集合论中因为无限不能完成而导致的问题并非无解。例如，实事求是地引入动态集合的概念就可使得集合论兼容潜无限。比如说，把无限的自然数集合写成{1，2，3,…, n}，(n®¥)就是一个动态的集合。

然而，这样一来，原本在实无限基础上的得到的一些东西的可靠性就要重新审视了。