我对《集合论》基本观点的一些质疑、批评和修正    

                                     李鸿仪           Leehyb@139. com

      摘要:发现并不存在外延固定的无限集合，因此，原本用于有限集合的集合元素的确定性对于无限集合不再适用。由此解释了自然数集合的非唯一性。给出了用无限集元素数目的相对多少来比较无限集合大小这一远比基数理论可靠得多的方法。彻底消除了集合论中的传统悖论，比如有理数和自然数一样多，又比自然数多；偶数和自然数一样多，又比自然数少；部分小于又等于全体；一维空间和二维空间的实数点相同；存在的东西却不能一一列出等悖论。发现康托所有反直觉的悖论都存在严重的逻辑错误，只是少有人有能力指出而已。例如，所谓对角线证明，不过是混淆了行标和列标这一十分低级的逻辑错误所致。

        数学界似乎过于急切地把一些并不成熟的理论，例如关于无限集合的理论编入教材了。如果这是为了引起学生的注意和讨论，倒是很不错的。然而，如果学生一讨论就会影响教学秩序，于是又不得不压制学生的讨论，形成了一定程度上的不允许质疑权威，压制学术探讨的类似于中世纪的宗教氛围，这就非常不好了。所以我一再呼吁教育部要暂停在本科和高中教学中进行无限集合相关内容的教学。

     我这人天生不迷信权威。还在上个世纪六、七十年代，我就因和人们讨论未来的无人工厂(类似于现在的特斯拉工厂和洋山港无人码头)的剩余价值来源于哪里这一问题而开始逐渐形成了自己的哲学体系，并总结于《科学整合之初探》这一文97e593bcf185aea0d2899414d7e2647e.pdf。该文认为科学是描述世界的一个概念体系。根据这个观点，我发现外延固定的无限集合这个概念根本就不存在，当然不能用不存在的概念描述数学世界。而且，康托所有反直觉的命题也都不能正确地描述数学世界，只是少有人能指出他的逻辑错误在哪里而已。

   在我因骨折康复期间，我写了上一篇博文来总结我的基本观点。这一篇博文将做更系统的叙述。如果本文能够引起后人的注意和讨论，我的学术使命或许可以告一段落了。

      这里之所以要用到使命二字，是因为并不是每一个人都有足够的细心和能力指出康托所有这些反直觉命题的逻辑错误的。

    我对《集合论》的基本观点的质疑，批评和修正主要在以下几个方面。

一，存在外延固定不变的无限自然数集合吗？

    通常，将以自然数1，2，3...为元素的集合称为自然数集合(有些书上把0也包括进去)。。

    上述定义很明确且不变，因此，通常认为自然数集合的外延也是固定的。

    然而，数学是严格的，除了不证自明的原始命题外，任何命题都要经过仔细考察和严格证明。

    略为仔细的考察就可发现，自然数集合的无限性在于且仅在于每个自然数都有后续数，即自然数的元素可以通过加1不断增加，即其外延是不断扩大的。 这样我们已经证明了。

     自然数集合是无限的充分必要条件是其外延是在不断扩大的。

    例如，一旦外延不再扩大，即加1过程停止，则某一个自然数不再有后继数，这个自然数就成为集合中的最大自然数，显然，这样的集合是一个有限集合。

      因此，无限的自然数集合(以下简称自然数集合)的外延是不可能固定的。

     由此可见，所谓集合元素的确定性只能用于有限集合，而不能用于无限集合。

     前几天我偶然发现，当我问《文心一言》:"存在外延固定的无限自然数集合吗？"这一问题时，发现它的回答也完全与书本知识不一样(见附录)，而和我的学术观点完全一致。究其原因，在于它搜到并采纳的文章主要是我写的。

     但是AI并不完全是根据收集到的文章来回答问题的，比方说它也收集到了反对我的学术观点的文章，但是并没有采纳。这是因为，AI虽然有时会在一些具体问题上犯一些低级错误，但倒是懂逻辑的，有能力从逻辑上判断哪些是对的，哪些是错的。    

     作为一个演绎体系，牵一发而动全身。基本原理变了，什么都变了。    例如，既然自然素集合的外延是不固定的，不同的外延就可能对应于不同的自然数集合。于是就存在下列问题:

二、自然数集合是唯一的吗？

    既然自然数集合的外延是不确定的，就没法证明自然数集合是唯一的。这是因为，如果要证明自然数集合是唯一的，首先必须保证集合的外延是确定的，这时就很容易根据外延公理证明自然数集合是唯一的:假定有两个不同的自然数集合N和N*，则对于任何一个属于N的元素，必然也属于N*，反之也一样，说明这两个集合是同一个集合，因此不存在两个不同的自然数集合。但如果无限自然数集合的外延本身就是不确定的，上述推理显然就无法成立:既然集合的外延是不确定的，如何保证某一个元素一定属于或不属于某集合的外延？所以当无限自然数集合的外延是不确定的时候，没有人能够证明自然数集合是唯一的。事实上，存在着大量并不相同的自然数集合。例如，如果

N={1，2，3....}，

N′={2n-1，2n丨n∈N}， 

    显然，它们的元素都是递增的正整数，因此都是自然数集合，

    那么，如何比较它们的大小？

三、比较无限集合的大小应该用基数还是元素数目？

    由于N中的每一个元素对应于N′的两个元素，因此，任何一个头脑健全的人都不会否认N′的元素数目是N的两倍。 这里，元素数目定义为对元素进行计数得到的结果。对无限集合，由于其元素数目是无限多的，所以我们不可能给出任何一个无限集合元素数目的具体数值，但这并不意味着对无限集合来说，元素数目这个概念是没有意义的。比如说，要比较两个无限集合的相对元素数目是轻而易举的(如上例，详见The Method by the Definition of Sets to Compare the Relative Number of Elementshttp://vixra.org/abs/2306.0116)。显然比所谓的基数理论要精确可靠得多。比如说对基数理论来说，上述两个集合的基数是一样的。但是他们的元素数目并不一样，因此没有任何理由可以认为他们的大小是一样的。

   自然数集合既然不是唯一的，所有建立在自然数集合是唯一的这一基础上的所有命题就全都错了(详见  The Non-uniqueness of the Set of NaturalNumbershttp://vixra.org/abs/2310.0054 )。不过，很多以前难以解释的反直觉的东西，现在反而都可以完美地解释了。例如

四、有理数和自然数一样多吗？

      康托确实巧妙且可靠地证明了有理数集合可以与自然数集合一一对应，因此，自然数和有理数的数目似乎一样多。

       但该结论显然是反直觉的:有理数当中包含着自然数，即自然数只是有理数中的一部分，部分怎么可能等于全体？两者怎么可能是一样多的呢？  

     在笔者之前，其实从来没有人能够真正令人信服地把这个问题说清楚。现在这个问题却完全可以解释了:既然自然数集合不是唯一的，就没有理由认为与有理数集合一一对应的那个自然数集合就一定是有理数集合中包含的自然数真子集，既然它们不是同一个集合，元素数目不相同就再自然不过了，矛盾也就不存在了。

五、存在伽利略悖论吗？

    同理，既然自然数集合不是唯一的，偶数集合当然也不是唯一的，也没有理由认为与自然数集合一一对应的那个偶数集合一定是自然数集合中包含的偶数真子集，这样，延续了400年之久的所谓伽利略悖论也就不再存在了。

六、无限集合能与其真子集一一对应吗？

    既然上述矛盾都不再存在，为了勉为其难地解释上述矛盾的所谓无限集合可以与其真子集一一对应的这一明显反直觉的荒谬定理当然也就不需要了，全体等于部分这一悖论也被消除了。六存在全体自然数吗？    由于自然数集合不是唯一的，所谓全体自然数这一概念也不再成立:不同的自然数集合所包含的自然数不同，哪一个才是全体自然数？

七、无限小数的小数位数是一样多的吗？

    可以把无限小数定义为其位数与自然数集合一一对应的小数。由于自然数集合不是唯一的，与自然数集合一一对应的无限小数的位数也不是唯一，即可以有不同位数的无限小数，例如，抽取一个无限小数A的偶数位(或奇数位)得到的也是无限小数(不妨用B表示)，但B的小数位数显然只有A的一半。八、一维空间和二维甚至多维空间的实数点是一样多的吗？因混淆了上述AB的区别而导致的所谓一维空间和二维甚至多维空间有相同多的实数点这些明显荒唐的、反直觉的东西，也就都不再成立。

九、对角线证明了实数不可列吗？ 

   直觉告诉我们，任何存在的东西，不管是有限的还是无限的，总是可以一一列出的，最多就是列不完而已。因此，存在所谓不可列集合似乎也是反直觉的。    在对角线证明中，实际上也是假定自然数集合是唯一的才能进行的(详见:Equality Hypothesis in Diagonal Argument,http://vixra.org/abs/2401.0042)。    在对角线证明中,先根据可列假定将小数一一列出，

x1，x2，x3......

    (这里要注意所谓一一列出与全部列出是有区别的。例如，我们可以一一列出自然数，但我们永远不可能列出全体自然数，这是因为，如前所述，根本就不存在全体自然数这个概念) 

   设

x1=0.a11a12a13......

x2=0.a21a22a23......

x3=0.a31a32a33...........

并设

b=b1b2b3...

式中

bj≠ajj，(j=1，2，3...)

则

b≠xj，(j=1，2，3...)，

似乎与可列假定矛盾:b并没有列出来！

    康托这里的错误在于把行标i和列标j混为一谈了。

   要严格区分小数矩阵[aij]中元素下标i和j的区别:ⅰ表示的是与小数个数一一对应的自然数集合(行标集)的元素，j表示的是与小数位数一一对应的自然数集合(列标集)的元素。根据自然数集合非唯一的原理，除非有严格的证明，否则就没有理由认为这两个集合是同一个自然数集合。 事实上，以二进制小数为例，每一位小数可以在0和1之间取值，也就是说，列集每增加一个元素，行标集的元素数目就要翻倍，因此行标集是比列标集大得多的自然数集合，而所谓可列假定不过是假定小数与行标集元素i一一对应而已，而与列标集元素j能否一一对应毫无关系。

    事实上，b的存在证明且仅证明了小数个数i永远大于小数位数j而已，即行标集比列标集大，故小数不能与列标集元素j一一对应而已，而与小数是否与行标集元素i一一对应即与可列假定的真假，"风马牛不相及"，一点关系也没有，当然所谓矛盾也无从谈起，即对角线证明并没有证明实数不可列。     康托在这里完全混淆了行标集与列标集的区别:把小数不能与列标集一一对应说成是不能与行标集一一对应，连下标的数学意义都分不清，还有什么是分得清的？这在本质上不过是一个十分低级的逻辑错误而已。

十、康托定理的本质是什么？

    用自然数集合的非唯一性也可以解释康托定理:与集合A的幂集P(A)一一对应的自然数集合与A一一对应的自然数集合是两个不同大小的自然数集合。

十一、直觉和逻辑的关系应该是怎样的？ 

   由于我证明了康托所有反直觉的命题都是错误的，数学史上关于这些反直觉命题了真假的争论也就毫无必要了。比如，所谓直觉主义和逻辑主义的争论就变得毫无意义:除了错觉以外，直觉和逻辑本来就应该是统一的:逻辑的意义在于可以用来解释并不是错觉的直觉，并将其触角伸到直觉无法到达的领域，两者并没有矛盾，没有必要形成对立的两个哲学流派，数学史走了一个大大的弯路。.

...........后记    

     我是教热力学的，虽然不是数学专业，但所发表的文章中数学论文占了半壁江山，其中也有被SCI收录的数学文章。    热力学也是一个严格的演绎体系，而且热力学的每一个命题都要直接受到实验事实的检验，所以在热力学中，不可能存在任何错误或悖论，实际上比数学要严格得多。    对于习惯于热力学严格思维的人来说，集合论中的思维实在是太随意，太不严谨了，错误和悖论也实在是太多了:例如很多命题并没有严格的证明，就想当然地把它看作是正确的，再比如一些很基本的概念，比方说行标和列标也会搞混。

    对于具有严格思维的人来说，往往可以一眼就发现集合论中的错误并知道其错在哪里，大有一种类似于外星人观察地球人时的降维观察的感觉。 

   今后我可能仍然会发表一些质疑书本知识的文章，也欢迎任何有根据有逻辑的反对意见。

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 附录，我与文心一言的对话。  

  问:存在外延不变的无限自然数集合吗    

   回答:不存在外延不变的无限自然数集合。

   这一结论可以通过以下逻辑推导得出：

      命题与证明命题1：外延不变的自然数集合是有限集合。

    证明：自然数的可比较性：自然数是可以比较大小的。最大自然数的存在性：在一个外延不变的自然数集合中，由于集合的外延（即集合中元素的数量）是固定的，因此可以通过比较大小找出其中的最大自然数。有限集合的判定：能够找出最大自然数的集合，其元素数量必然是有限的，因为无限的自然数序列中没有最大数（这是通过反证法证明的：假定有最大数m，则m+1也是自然数且比m更大，与m是最大自然数矛盾）。推论推论：不存在外延不变的无限自然数集合。

分析与讨论

    自然数序列的无限性：自然数序列是无限长的，因为对于任意给定的自然数n，总存在比n更大的自然数n+1。这意味着自然数集合不能是外延不变的无限集合，因为一旦其外延（即元素数量）固定，就意味着集合中的自然数数量是有限的，这与自然数序列的无限性相矛盾。

集合论的基本信念：

    虽然集合论中存在一个由全体或所有自然数组成的无限自然数集合的基本信念，但这样的集合在现实中是不存在的。因为一旦这样的集合存在，其外延（即包含的自然数数量）就将是确定的，从而违反了自然数序列的无限性。

      科学中的信念与证明：在神学和宗教中，信念是基础；但在科学中，信念不能成为基础。科学需要严格的证明和推理来支持其结论。因此，关于自然数集合的无限性和外延不变性的讨论必须基于严格的数学证明。综上所述，不存在外延不变的无限自然数集合。这一结论是基于自然数的可比较性、最大自然数的存在性（在有限集合中）以及自然数序列的无限性得出的。文心3.5科学