不存在外延不变的无限自然数集合。

                       李鸿仪

 命题1 外延不变的自然数集合是有限集合。

       证明:自然数是可以比较大小的。因此，在一个外延不变的自然数集合中，必然可以通过比较大小找出其中的最大自然数，也就是说，这是一个有限集合，而不是无限集合。证毕

      命题1其实很容易理解。

      无限的自然数序列中没有最大数是根据反证法来证明的:假定有最大数m，则m+1也是自然数，且比m更大，与m是最大自然数矛盾。

     不难看出，如果m不能加1，上述证明就无法成立。

    所以，自然数序列没有最大自然数的必要条件是每一个自然数都有后继，即序列的项数可以不断增加，所以，

一旦以自然数序列各项为元素的自然数集合的外延固定了，即序列的项数不能再增加了，就不可能再是一个无限集合，而是有限集合了。

       推论  不存在外延不变的无限自然数集合。

        以上推导和结论都十分清楚和严格，不可能有任何人从中找出瑕疵。

        该结论表明，形成自然数集合的无限过程是不可能完成的，这是因为，一旦完成，就必形成一个外延不变的无限自然数集合。

      存在着一个由全体或所有自然数组成的无限自然数集合是集合论的基本信念。

        如果存在这样的集合，由于它的元素是全体自然数，且不存在不同的全体自然数集合，所以，这样的自然数集合是唯一的。

       然而，既然它的元素是全体或所有自然数，即不可能穿再增加其他自然数了，所以，全体或所有自然数集合的外延是确定的。    

    根据命题1及推论，一个由全体或所有自然数组成的、外延确定不变的无限集合是不存在的。

       在神学和宗教中，信念是基础，但在科学中，信念不能成为基础。

      由于这样的集合并不存在，因此建立在假定存在这样集合基础上的理论与实际情况是有距离的，用于解决实际问题的时候也很容易出现各种问题。      

     例如，既然不存在这样一个集合，那就意味着实际上的无限自然数集合{123……｝ 只能包含部分自然数。

      没有任何理由可以认为这样的自然数集合是唯一的:由于每个集合所包含的部分元素数目可以不同，实际上的自然数集合只能是

…….｛123……｝包含｛123……｝包含｛123……｝……，

        由于自然数集合的元素数目是无限多的，所以我们不可能找出其中包含着最多的自然数集合，这就证明了，存在着无限多的自然数集合，其中每一个自然数集合都是另一个更大的自然数集合的真子集。

       在消除了自然数集合唯一性这一根本性错误的基础上，很多问题都迎新刃而解[1]。

① 康托证明了有理数集合Q与自然数集合N*可以一一对应。

       如果两个集合可以建立严格的一一对应，即一个集合的元素可以无遗漏无重复与另一个集合的元素对应， 没有任何理由可以认为这两个集合的元素数目是不相等的，因此，可以用是否能够严格一一对应来判断两个集合的元素数目是否相等。不过，这里的一一对应是指无遗漏、无重复的严格的一一对应。

       所以，康托实际上证明了集合N*与Q的元素数目是相等的。

      但康托并不知道自然数集合不是唯一的，所以误以为N*就是有理数集合Q所包含的自然数真子集N，从而得出了无限集合可以与其真子集一一对应 ，即全体=部分这一明显反直觉且与几何公理相悖的错结论。

       事实上，N只是Q中部分元素所组成的集合，其元素数目必然要比Q的元素数目少得多，因此，N*和N的元素数目不同，两者当然不可能是同一个自然数集合。

      由于N和N*都可表示为这｛123……｝，且都只能包含部分自然数，区别仅在于N*省略号里面包含的自然数比N多得多而已。由此可见，N是N*的无限真子集。

②自然数集合的非唯一性直接导致了偶数集合和奇数集合的非唯一性。例如，集合

 E*={2xIxϵN}

与

E={mod(x，2)=0|xϵN｝

虽然都是偶数集合，但由于两个集合的定义不同，很容易据此比较他们元素数目的多少[2]：在E里，N中每两个自然数中只有一个偶数，即E的元素数目只有N的一半，而在E*里，N中每一个自然数都变成了偶数，即E*可以与N建立严格的一一对应，集合E*与N的元素数目精确相等。

      由此可见，E的元素数目只有E*的一半。

       两个集合。不但定义不同，元素数目也不同，显然不可能是同一个偶数集合，且由于E*的元素数目比E多，不难看出:E是E*的真子集。

      伽利略，康托和希尔伯特都混淆了两者的区别，从而产生了延续400年之久的，实际上根本不存在的所谓伽利略悖论。

       康托其他反直觉的东西，比方说一维空间居然与N维空间中点的数目一样多，也是混淆了不同的自然数集合所造成的。在数学史上有重大影响的所谓对角线证明也是这样：康托混淆了表示小数位数的自然数集合和表示小数个数的自然数集合，误以为它们是同一个自然数集合，并因此“发现”了实际上并不存在的所谓矛盾。

       总之，自然数集合不是唯一的，由此可以证明，康托所有反直觉的东西都是不严格甚至错误的。

参考文献(博文)

[1] 自然数集合的非唯一性

[2]定义发比较无限集合元素数目的多少。

[3]对角线证明中的相等性假设