本文介绍了《随机过程》布朗运动理论中出现的一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题，并对产生反常问题的逻辑错误、物理概念错误和数学抽象错误等原因进行了详细分析。

一、布朗运动定义及性质

设X(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移（图1），X(0)=0，定义

（1）X(t)为平稳独立增量过程；

（2）X(t)～N(0，σ² t)，其中σ>0为常数；

（3）X(t)是t的连续函数。

则称X(t)是参数为σ²的布朗运动，或维纳过程。

图1 布朗粒子位移曲线

根据布朗运动（维纳过程）定义，可推导出布朗运动的两个重要性质：

（1）布朗粒子位移X(t)服从均值为零、方差为σ²t的正态分布；

（2）布朗运动路径处处不可导（布朗粒子瞬时速度无穷大）。 

  二、布朗运动反常问题

1、逻辑悖论

“悖论”是指自相矛盾的命题，或荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

设T_a为布朗运动首中时（图1中布朗粒子首次到达a位置的时间），首中位置X(T_a)= a为常数。

根据布朗运动定义X(t)～N(0，σ² t)的性质，可得X(T_a) 的数学期望和方差分别为

E[X(T_a)]=0

D[X(T_a)]= σ²T_a

但是，根据首中位置X(T_a)= a也可计算出X(T_a)的数学期望和方差，有

E[X(T_a)]= a

D[X(T_a)]=0

显然，根据首中位置X(T_a)= a计算出的数学期望和方差与布朗运动定义给出的数学期望和方差相互矛盾。

上述逻辑悖论的出现，表明布朗运动理论的逻辑完备性遭到破坏，布朗运动理论中必然隐藏着重大科学问题。

2、正态分布性质与客观事实不符

如果布朗粒子的位移X(t)服从正态分布，则图1所示的布朗粒子位移曲线应具有如下两个正态分布的重要特征：

（1）对称性。绝对值相等的正、负位移值出现的次数大致相等。

（2）集中性。大多数位移值聚集在均值（原点）附近。

图1所示的布朗粒子位移曲线具有明显的线性趋势，根本不具有正态分布的对称性和集中性，因此，布朗粒子位移服从正态分布的性质与客观事实完全不符。

从信号分析的角度看，均值表示信号中直流分量的大小，方差表示信号中交流分量的平均功率或波动范围。

如果单个布朗粒子的位移X(t)～N(0，σ²t)，则位移曲线应该是一条直流分量为零、交流分量平均功率与时间t成正比的高斯噪声信号波形（图2）。显然，图2的布朗粒子位移仿真曲线满足正态分布的对称性和集中性，但与图1所示的布朗粒子位移曲线有着天壤之别。

图2 布朗粒子位移仿真曲线

图1所示的布朗运动位移曲线含有非常明显的直流分量（均值不等于零），而其交流分量的平均功率基本平稳，因此，实际的布朗粒子位移不服从均值为零、方差为σ²t的正态分布。

3、瞬时速度无穷大（处处不可导）与物理学实验不符：

2010年，美国得克萨斯大学的李统藏成功地利用激光光镊技术首次实验测量了悬浮布朗粒子的瞬时速度（图3）。

图3 布朗粒子瞬时速度测量实验结果

物理学的布朗粒子瞬时速度测量实验结果表明：布朗粒子的瞬时速度是均值为零的不相关白噪声，布朗粒子的瞬时速度（导数）不仅存在，而且可观测。

科学理论是反映人类对自然界本质特征及规律的系统化知识体系，科学理论最本质的特征是其客观真理性，它要求科学理论必须要正确地反映客观事物的本质及其规律性。《随机过程》布朗运动理论中的可检验结论与实验检验结果不符，表明《随机过程》布朗运动理论被实验检验证伪。

三、反常问题原因分析

1、逻辑错误

在同一数学思维过程中，如果出现违反同一律和矛盾率的逻辑错误，就必然会导致逻辑矛盾或逻辑悖论的产生。

同一律是指在同一推导、演算和分析过程中，所使用数学概念的内涵和外延必须要与其自身始终保持同一。如果在同一数学思维过程中，把两个完全不同的数学概念混为一个概念，就会违反同一律，犯“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，必然会导致推导出的结论在逻辑上不能自洽。

矛盾律是指在同一数学思维过程中，两个不同的数学概念不能反映同一对象。如果用两个不同的数学概念描述同一对象，就会出现违反矛盾律的逻辑错误，必然会导致逻辑矛盾或逻辑悖论的产生。

布朗运动定义用时间函数X(t)和随机变量X(t)这两个完全不同的数学概念来描述同一个布朗粒子在t时刻的位移（表1），从而出现了违反同一律和矛盾律的逻辑错误，必然会导致《随机过程》布朗运动理论产生逻辑悖论。

表1布朗运动（维纳过程）定义逻辑错误分析

2、物理概念错误

1905年，爱因斯坦发表了《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮粒子的运动》论文，认为悬浮微粒的不规则运动是由于受到大量液体分子的连续随机碰撞造成的。

爱因斯坦设首先假设“同一布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立”和“不同布朗粒子之间的运动互不相关”，然后推导出了布朗运动扩散微分方程：

式中f (x,t)为大量布朗粒子的浓度（单位体积中的粒子数），D为扩散系数。

布朗运动扩散方程的归一化解析解为：

显然，大量布朗粒子的浓度f (x,t)～N(0，2Dt)正态分布（图4）。

图4 布朗运动浓度分布规律

但是，《随机过程》教科书在定义布朗运动时，却将大量布朗粒子的浓度f (x,t)分布规律当作单个布朗粒子位移X(t)的性质，并定义X(t)～N(0，σ²t)，用刻画大量质点集体行为的统计特性来描述一个质点的个体行为，建立的《随机过程》布朗运动理论必然与经验事实不符，在逻辑上不能自洽。

事实上，根据爱因斯坦布朗运动理论“同一布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立”假设，直接就可推导出“布朗运动瞬时速度等于白噪声”的结论，将其作为公理（基本假设），运用逻辑演绎推理方法就可建立揭示布朗粒子运动特征及规律的布朗运动理论。

3、数学抽象错误

从物理学角度看，《随机过程》与《牛顿力学》一样，均以质点作为研究对象，但《随机过程》描述的是质点的随机运动特征及规律。

《牛顿力学》将质点位移与时间之间的数量关系抽象为时间函数X(t)，而《随机过程》却将质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量X(t)。

时间函数X(t)和随机变量X(t)的数学符号虽然相同，但它们是两个定义域和值域完全不同的函数（表2）。随机变量X(t)是定义在样本空间Ω上的函数，而不是时间t的函数。样本空间Ω映射的是随机试验所有可能结果构成的集合，因此随机变量X(t) 在t时刻有多个或无穷多个取值，而时间函数X(t) 在t时刻只有唯一一个取值。

表2 时间函数和随机变量的区别

从表1可以看出，时间函数X(t)和随机变量X(t)是两种完全不同的数学结构，对应于完全不同的物理对象。时间函数X(t)用来描述单个质点的位移随时间变化过程，随机变量X(t)用来描述所有质点在某一时刻的空间位置分布状态。

因此，《随机过程》教科书将质点位移与时间之间的数量关系错误地抽象为随机变量X(t)，无形中导致研究对象错位，使物理研究对象从单个质点改变为质点集合，建立的理论必然与经验事实不符。

四、结论

《随机过程》布朗运动理论中出现了一系列“理论与经验事实不符”和“逻辑上不能自洽”等反常问题，表明《随机过程》教科书中的布朗运动理论被证伪，该理论将面临库恩在《科学革命的结构》书中所描写的重大范式转换（图5），《随机过程》教科书中原有的布朗运动理论将会被新理论所取代，这为中国的随机过程学科进入世界一流大学顶尖水平带来了千载难逢的历史性发展机遇。

图5 《随机过程》布朗运动理论反常问题及范式转换