本文指出了现有《随机过程》教科书中随机游走理论中出现的两个反常问题，一是理论与经验事实不符，二是理论内部存在逻辑悖论。

科学发展的历史表明，反常问题的出现，预示着科学理论将发生重大范式转换，使科学知识体系发生根本性的变革，从而把人类对客观世界的认识提高到一个崭新的水平。

一、随机游走定义

定义：设  ,  ,…,  为独立同分布随机变量，  ，  ，定义

为简单随机游走。

通常可用连续抛硬币过程来模拟质点随机游走，若每次抛出硬币后正面向上，则质点往右走一步；若反面向上，则质点往左走一步，  就是质点在第  步时的位置（图1）。

图1 随机游走

图2为  步时的一条质点随机游走位移曲线。

图2 随机游走位移曲线

二、随机游走性质

1、正态分布性质：

从随机游走的定义可以看出，随机游走的质点位移  为独立同分布随机变量之和，根据中心极限定理，  服从或近似服从正态分布。

从随机游走定义可直接推导出  的数学期望和方差

表明随机游走的质点位移  服从  正态分布。

2、常返性：

1905年，英国统计学家皮尔逊（Pearson）在《自然》杂志上公开求解随机游走问题：如果一个醉汉走路时每步的方向完全随机，经过一段时间之后，在什么地方找到他的可能性最大？

1921年，美籍匈牙利数学家波利亚（Polya）在研究随机游走问题后，由随机游走定义出发，证明了著名的随机游走定理：一维或二维随机游走是常返的，从而得出了醉汉最终一定能回到起点的结论。

日本著名数学家角谷静夫将波利亚随机游走定理形象地表述为：醉鬼总能找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home），因此随机游走定理也被称为酒鬼回家定理。

波利亚随机游走定理的数学表达式为

表明从原点出发的质点返回原点无穷多次的概率为  。

三、正态分布

自从1809年德国数学家高斯（Gauss）发现测量误差服从正态分布后，人们发现正态分布在自然界和人类社会实践活动中极为常见。

服从正态分布的样本数据具有以下两个重要特征：

（1）对称性。绝对值相等的正、负样本数据出现的次数大致相等。

（2）集中性。绝对值小的样本数据比绝对值大的样本数据出现的次数多。

下面给出3个正态分布实例：

图3为2个射击运动员的打靶结果。弹孔数量距中心的距离呈正态分布，所有弹孔在靶面上的位置显然服从正态分布的对称性和集中性。

图3 打靶结果

图4为高斯白噪声信号波形。对不同时刻的高斯白噪声信号幅值进行统计分析，高斯白噪声信号的幅值服从  正态分布，  的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

图4 高斯白噪声

图4所示的白噪声信号波形在不同时刻的幅值显然具有正态分布的对称性和集中性。

图5为  个同时从原点出发的布朗粒子位移曲线。根据爱因斯坦布朗运动理论，这  个布朗粒子在  时刻的位置服从  正态分布。

图5 布朗运动样本轨道

从图5可以看出，在任意时刻，这  个布朗粒子的空间位置均服从正态分布，并具有正态分布的对称性和集中性。在任意时刻，分布在原点两侧的布朗粒子数量大致相等，且大量粒子集中在原点附近。

四、随机游走正态分布性质与事实不符

观察图2所示的随机游走位移曲线，显然不具有正态分布的对称性和集中性。

图6为个同时从原点出发的质点随机游走位移曲线，所有质点均向远离原点的方向运动，均不具有正态分布的对称性和集中性。

图6 随机游走位移曲线

五、随机游走逻辑悖论

科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系，应保持内部逻辑上的一致性。从基本概念和基本原理出发推导出的各种性质及结论，必须要在逻辑上自洽，不应出现自相矛盾的逻辑悖论。

根据随机游走定义，随机游走位移  的方差

由随机游走定理  ，有

表明  时，会出现无穷多次  的情况，与  矛盾。

逻辑悖论是推动科学理论演变的重要创新动力。逻辑悖论在原有理论框架内是无法消除的，必须要提出全新的方法并创立新的理论，对原有的理论进行根本性的范式转换，最终导致新理论代替旧理论。

六、高尔顿板实验验证

早在1873年，英国生物统计学家高尔顿（Galton）专门设计了一个演示一维简单随机游走的实验装置（图7），俗称高尔顿板。

图7 随机游走实验结果

高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的钉子，钉子之间的距离彼此相等，呈三角形排列，上一层每一颗钉子的位置恰好位于下一层两颗钉子的正中间。

当小球从最上方的入口落下时，小球每次碰到钉子后，随机地向左或向右落下，直到最后落入底部的一个格子内。

显然，一个小球从入口处经过  层钉子后落入底部格子的过程，就相当于一个质点的  步随机游走过程。小球所在底部格子偏离中心（入口）的距离，就是随机游走质点相对原点的位移  。

如果高尔顿板面积足够大，小球在下落过程中逐渐远离原点，表明随机游走位移  具有确定性的运动趋势，不可能服从均值为零的正态分布。

把大量小球逐个从入口处放下，只要高尔顿板的面积足够大、钉子数量足够多，最终落在底部格子内的小球将形成与正态分布曲线相似的中间高、两边低的钟形曲线，表明大量随机游走的小球在某一时刻的空间位置服从正态分布，与图5所示的布朗运动正态分布性质相同。

七、随机游走反常问题原因分析

事实上，随机游走的质点位移  服从  正态分布的性质，描述的是大量质点在第  步时的空间位置分布状态（见图6和图7）。

质点位移  本来是步数  的一般函数，可记为  ，但《随机过程》教科书将样本函数  当作随机变量，从而导致研究对象错位，使研究对象从一个质点改变为质点集合，并用质点集合的统计特性来描述单个质点的运动规律，必然会出现了一系列与经验事实不符的反常问题。

从抛硬币试验看随机游走定义的基本概念错误

从随机变量定义看随机游走定义的基本概念错误

八、结论

随机游走正态分布性质与经验事实不符，表明随机游走理论被证伪；逻辑悖论是随机游走理论体系的内在矛盾，显示随机游走研究方法或基本假设存在严重错误，必须要提出全新的研究方法和基本原理，才能彻底消除逻辑悖论。因此，随机游走理论将面临根本性的范式变革，导致新的概念、方法和理论推翻并替代原有《随机过程》教科书内容，为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。