能观/能重构丰富性解读

    在我的新工作中,将单位输入下状态空间能控/能达范围定义为单位能控/能达域,将单位输出量程下的能观/能重构的范围定义为单位能观/能重构域,即后将单位能控/能达/能观/能重构域的体积定义为能控/能达/能观/能重构丰富性,并通过计算这些体积来计算这些丰富性,但如何解读这些丰富性的与控制能力/观测能力的关系？

    对能控/能达丰富性,已经证明能控/能达域的体积大,则意味着对能控/能达域中的任意状态,其镇定或调节至其它目标状态的控制律的解空间大、响应快(时刻 $T$ 的能控/能达域的边界就是在时刻 $T$ 内能控/能达的最大范围,即该边界可以实现 $T$ 时刻内的最速控制),也就是有更多的选择去设计相应的控制器;选择的空间大则意味着可以设计适宜的闭环控制系统具有更好性能指标和鲁棒性,故,以能控/能达域的体积来定义能控/能达丰富性,则是能控/能达丰富性的值越大,则控制能力强。

    而对于能观/能重构丰富性,如何解读？状态的观测或重构问题,实质上就是状态估计和滤波问题,其最重要的指标无非就是状态估计/滤波精准,估计/滤波的误差小,且估计/滤波的收敛快。首先估计/滤波的误差小,对于动力学系统的状态估计/滤波来说,若估计/滤波序列(信号)的误差总是小,则就是该估计/滤波序列(信号)的收敛快,这估计序列的误差小与收敛快两者是一致的。考察估计序列误差小,在单位输出量程 $\left(\left\Vert y_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1,t\in[0,T]\right)$ 下的状态能观范围(域)越大的情形下,则说明由单位输出量程下测得的输出序列 $\left\{ y_{t},t\in[0,T]\right\}$ 去唯一确定(估计)的状态的精度只能越低。如,状态能观范围(域)越大,若所测得的输出序列 $\left\{ y_{t},t\in[0,T]\right\}$ 存在误差(噪声或干扰等),映射到单位能观域上的误差空间相应也大,即估计的精度就低。因此若用能观/能重构域的体积的值来定义能观/能重构丰富性的值,则能观/能重构丰富性的值越小,则说明系统的观测/重构能力强;值越大,则观测/重构能力弱。即能观/能重构丰富性的值的大小与观测/重构能力强成反比关系。

    上述这一点也可通过无限时间能观丰富性(能观域体积)的计算来印证。

    在博文“特征根为单实根的连续系统的能观丰富性计算对于特征根为单实根”(http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3343777&do=blog&id=1067817)中,系统矩阵为对角线矩阵的线性连续系统,其无限时间能观丰富性(能观域体积)为

$\lim_{N\rightarrow\infty}v_{o,N}=\left|\left(\prod_{1\leq j_{1}

其中 $\lambda_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 为系统矩阵 $A$ 的特征值,输出矩阵 $C=[c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}]$ 。由上式可知,互异的特征值的差异越大,观测矩阵 $C$ 的各元素 $c_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 的绝对值越大,能观丰富性的值(能观域的体积)越小

     在传统状态空间理论的直观感觉中,特征值要有一定的区分度(分布),分布范围越大(互异的特征值的差异越大),能观性越强;再者就是观测矩阵 $C$ 的各元素 $c_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 的绝对值越大,观测能力越强。而由上述能观丰富性的计算恰恰印证了,能观丰富性的值(能观域的体积)越小,相应的系统的观测能力越强。即系统的观测能力与能观丰富性的值是成反比的。