$n$ 维空间连续几何体的体积计算

    $$ $n$ 维空间连续几何体 $R$ 的体积的积分计算可定义如下：

$\mathrm{Vol}(R)=\int_{s\in R}\mathrm{1\bullet d}s$      (1)

对上述的积分计算有如下定理：

   【定理】 若 $n$ 维空间连续几何体R的边界 $\partial R$ 已知，则几何体 $R$ 的体积的可积分计算如下

$\mathrm{Vol}(R)=\cfrac{1}{n}\int_{z\in\partial R}\left|\mathrm{det}[z,c_{1},c_{2},...,c_{n-1}]\right|\mathrm{d}z_{1}\mathrm{d}z_{2}...\mathrm{d}z_{n-1}$

其中 $\mathrm{d}z$ 为 $n$ 维空间中边界点 $z$ 的 $n-1$ 维切平面，并可表示为

$\mathrm{d}z=c_{1}\mathrm{d}z_{1}+c_{2}\mathrm{d}z_{2}+\cdots+c_{n-1}\mathrm{d}z_{n-1}$

其中 $\mathrm{rank}[z,c_{1},c_{2},\cdots,c_{n-1}]=n$ ； $\mathrm{d}z_{i}(i=1,2,\cdots,n-1)$ 为描述 $n-1$ 维切平面 $\mathrm{d}z$ 的 $n-1$ 个参变量。

   【证明】当 $n$ 维空间连续几何体 $R$ 的边界 $\partial R$ 已知时，由式(1)的体积定义式可得如下体积计算式：

$\mathrm{Vol}(R)=\int_{z\in\partial R}\mathrm{Vol}(z\otimes\mathrm{d}z)$

其中 $z\otimes\mathrm{d}z$ 为由原点、边界点 $z$ 和 $n-1$ 维切平面 $\mathrm{d}z$ 所构成的 $n$ 维空间中的椎体。由行列式与体积关系定理（见本人博文：求救关于行列式与几何体体积的关系的定理的出处）， $z\otimes\mathrm{d}z$ 的体积可计算如下：

$\mathrm{Vol}(z\otimes\mathrm{d}z)=\frac{1}{n}\left|\mathrm{det}[z,c_{1}\mathrm{d}z_{1},c_{2}\mathrm{d}z_{2},...,c_{n-1}\mathrm{d}z_{n-1}]\right|$

因此，我们有

$\mathrm{Vol}(R)=\cfrac{1}{n}\int_{z\in\partial R}\left|\mathrm{det}[z,c_{1},c_{2},...,c_{n-1}]\right|\mathrm{d}z_{1}\mathrm{d}z_{2}...\mathrm{d}z_{n-1}$

    上述定理本人于2017.6给出并证明。该定理是一个体积计算的基本定理，应该早就有文献提出并证明，不知在哪里可以查到该定理或相关定理最早的出处？？？？