第三章：古典希腊数学的产生。本篇记录爱奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派。

题词是普罗克洛斯（Proclus）的：“所以说数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄净智慧；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。”领略过数学之美的人，都会衷心赞同。

“希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。他们虽也取用了周围其他文明世界的一些东西，但希腊人创造了他们自己的文明和文化，这是一切文明中最宏伟的，是对现代西方文化的发展影响最大的，是对今日数学的奠基有决定作用的。文明史上的重大问题之一，是何以古希腊人有这样的才气和创造性。”有人认为古希腊的哲学著作和艺术作品都是伪造的。我对这个领域不熟，这些问题可以讨论。不过，即使古希腊的哲学和艺术成就都伪，如果在数学上的成就为真，那么克莱因在本章开头的这段话仍然成立。有人有证据说《几何原本》是伪作吗？

“古代希腊文明虽然一直延续到公元600年，但从数学史的观点讲，需要把它分为两段时期：一段是从公元前600年到前300年的古典时期；一段是从公元前300年到公元600年的亚历山大时期（或称希腊时期）。”最后一个词似乎应该是希腊化时期，这是史学界的通称。

“现在已经没有重要的希腊数学家的原文手稿。其原因之一是草片易于损毁。……还有希腊人的大图书馆后来毁于兵燹……今日希腊数学著作的主要来源是拜占庭的希腊文手抄本，这是在希腊原著写成后500年到1500年之间录写的。……我们还有希腊著作的阿拉伯文译本和转译自阿拉伯文的拉丁文译本。”希腊数学著作的来源是个大问题。但从人类历史的角度看，演绎法、公理体系相对于经验性的数学不是量变，而是质变，是飞跃，是现代科学的基础。这是不能你好我好大家好河蟹糊弄的，必须说到透彻。“每个民族都创造了辉煌灿烂的文明”，这种政治正确的漂亮话对文学、艺术或许可以成立，对数学却毫无意义。关于演绎法和公理体系首先应该考虑到的是，这些伟大的发现完全有可能一直没人做出，使人类至今都发展不出科学。我们应该为地球文明庆幸，有一些伟大的头脑做出了这些发现。至于这些头脑来自什么地方，那是第二位的问题。是古希腊人？阿拉伯人？还是文艺复兴时的欧洲人？可以争论，可以存疑，可以寻找证据。但无论是谁，都是人类的大恩人。对我们来说很重要的是，发现演绎法、公理体系的肯定不是中国人。另一点对我们来说很重要的是，无论是谁发现了演绎法、公理体系，它们的好处在近代几乎完全被欧洲人独占了。为什么会这样？这是个必须深思的问题。即使你把希腊历史全部证伪，这也丝毫不会减轻中国为何落后、西方为何突飞猛进这些问题的尖锐程度，甚至变得更加尖锐。

“古典希腊数学是在先后相继的几个中心地点发展起来的……第一个学派是爱奥尼亚（Ionian）学派，是米利都地方的泰勒斯（Thales，约公元前640-约前546）创立的。……其后毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前585-约前500）在意大利南部形成他自己的学派。在公元前6世纪末之际，爱奥尼亚地区科勒芬（Colophon）城的色诺芬尼（Xenophanes）迁居到西西里，在那里建立一个中心，属于这学派中的人有哲学家巴门尼德（Parmenides，公元前5世纪）和芝诺（Zeno，公元前5世纪）。这两人住在意大利南部埃利亚（Elea），学派也随之迁到那里，因此这群学者就叫埃利亚（Eleatic）学派。自公元前5世纪下半叶起进行学术活动的诡辩（Sophist）学派则主要集中在雅典。最出名的学派是柏拉图（约公元前427-前347）在雅典的学院派（Academy）……欧多克索斯（Eudoxus，约公元前408-约前355）……在小亚细亚北部的城市基齐库斯（Cyzicus）成立了他自己的学派。亚里士多德离开柏拉图的学院之后在雅典成立另一学派——学园学派（Lyceum）。学园学派通常称为漫步学派（Peripatetic school）。”

爱奥尼亚学派

“就对于数学本身的贡献而言，爱奥尼亚学派只值得稍加提及，不过它在哲学特别是自然哲学方面的重要性是无与伦比的。”

毕达哥拉斯派

“希腊人对数学看法本身的一个重大贡献是有意识地承认并强调：数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事物或实际形象是截然不同的。……埃及人的直线就无非是拉紧的绳或田地的一边，而矩形则是田地的边界。”中国古代数学达到了什么程度？

“毕达哥拉斯学派常把数描绘成沙滩上的点子或小石子。他们按点子或小石子所能排列而成的形状来把数进行分类。例如，1，3，6和10这些数叫三角形数，因为相应的点子能排列成三角形。……1，4，9，16，…这些数他们称之为正方形数……复合数（非质数）中凡不恰好是正方形数的，则叫做长方形数。把代表数的点子排成几何图形后，整数的一些性质就变得很明显。”他们通过分割图形发现了n(n 1)/2 (n 1)(n 2)/2 = (n 1)^2，以及1 3 5 ... (2n-1) = n^2。

“若一数等于它的所有因数（能除尽该数的数，包括1，但不包括该数本身）之和，他们称之为完全数，如6，28和496便是完全数。数本身大于其因数之和的叫盈数，小于其因数之和的则叫亏数。若有两数彼此等于另一数的因子之和，他们称这两数是亲和数，例如284与220便是亲和数。”中国古代的数论达到了什么程度？

“毕达哥拉斯派得出了一个法则，能求出可排成直角三角形三边的三元数组。从这一法则说明他们知道毕达哥拉斯定理。”他们是否得到了勾股定理的证明？“曾有许多人探讨过，答案则是他们可能并未证明。……学派晚期（公元前400年左右）的成员可能作出了合法的证明。”

“若p和q是两数，它们的算术平均值A是(p q)/2，几何平均值G是sqrt(pq)，而调和平均值H，即1/p和1/q和算术平均值取倒数，是2pq/(p q)。但我们可看出G是A和H的几何平均值。A:G = G:H这个比例便叫完全比例，而p:(p q)/2 = 2pq/(p q):q这个比例他们称之为音乐比例。”也就是说，数列p，A，G，H，q给出四对相邻的数，但它们的比例只有两个值，两端的p:A = H:q是音乐比例，中间的A:G = G:H是完全比例。

“后人把不可公度比的发现归功于米太旁登的希帕苏斯（Hippasus，公元前5世纪）。相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，就因这一发现而把希帕苏斯投到海里，因为他在宇宙间研究出这样一个东西否定了毕达哥拉斯派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。”希帕苏斯称得上最早的科学殉道者之一了！

“根号2与1不能公度的证明是毕达哥拉斯派给出的。据亚里士多德说，他们用的是归谬法，即间接证法。”假设它可以表达成最小整数比a:b，于是a^2 = 2b^2。a^2是偶数，可见a是偶数。设a = 2c，于是a^2 = 4c^2，b^2 = 2c^2，b又是偶数。这跟a:b是最小整数比的假设矛盾，因此原假设错误，证毕。世界其他文明有注意到无理数的吗？